Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36899	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36899
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 18-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $α$ , $β$ με $α > 0$ και $β > 0$ . Να δείξετε ότι:

α) $α + \frac{4}{α} \geq 4$ .
(Μονάδες 12)

β) $(α + \frac{4}{α}) (β + \frac{4}{β}) \geq 16$ .
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$α + \frac{4}{α} \geq 4$ $\overset{α > 0}{\Leftrightarrow} α^{2} + α \cdot \frac{4}{α} \geq 4 α$

οπότε:

$α^{2} + 4 \geq 4 α$

δηλαδή:

$α^{2} - 4 α + 4 \geq 0$

και τελικά:

$(α - 2)^{2} \geq 0$

που ισχύει.

β) Από το α) ερώτημα έχουμε ότι $α + \frac{4}{α} \geq 4$ και ομοίως $β + \frac{4}{β} \geq 4$ . Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δυο ανισότητες προκύπτει:

$(α + \frac{4}{α}) (β + \frac{4}{β}) \geq 16$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).