Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	37124	Ύλη:	3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	37124
Ύλη:	3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαρ-2024

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται τρίγωνο $Α Β Γ$ με $Α Β < Α Γ$ . Στην προέκταση της $Α Β$ (προς το $Β$ ) θεωρούμε σημείο $Ε$ έτσι ώστε $Α Ε = Α Γ$ . Στην πλευρά $Α Γ$ θεωρούμε σημείο $Δ$ έτσι ώστε $Α Δ = Α Β$ . Αν τα τμήματα $Δ Ε$ και $Β Γ$ τέμνονται στο $Κ$ και η προέκταση της $Α Κ$ τέμνει την $Ε Γ$ στο $Μ$ , τότε να αποδείξετε ότι:

α) $Β Γ = Δ Ε$
(Μονάδες 6)

β) $Β Κ = Κ Δ$
(Μονάδες 7)

γ) Η $Α Κ$ είναι διχοτόμος της γωνίας $Α$ .
(Μονάδες 6)

δ) Η $Α Μ$ είναι μεσοκάθετος της $Ε Γ$ .
(Μονάδες 6)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Τα τρίγωνα $Β Ε Γ$ και $Δ Ε Γ$ έχουν:

$Ε Γ$ κοινή
$B E = Δ Γ$ ως διαφορά των ίσων τμημάτων $Α Ε$ , $Α Β$ και $Α Γ$ , $Α Δ$ αντίστοιχα
$\hat{Α Ε Γ} = \hat{Α Γ Ε}$ , αφού $Ε Α Γ$ ισοσκελές τρίγωνο

Τα τρίγωνα $Β Ε Γ$ και $Δ Ε Γ$ έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες σε αυτές ίσες άρα είναι ίσα, οπότε έχουν και $Β Γ = Δ Ε$ αφού βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες $\hat{Α Ε Γ}$ και $\hat{Α Γ Ε}$ .

β) Επειδή τα τρίγωνα $Β Ε Γ$ και $Δ Ε Γ$ είναι ίσα προκύπτει ότι $\hat{Δ Ε Γ} = \hat{Δ Γ Ε}$ οπότε το τρίγωνο $Κ Ε Γ$ είναι ισοσκελές, άρα $Ε Κ = Κ Γ (1)$ .

Τα τρίγωνα $Β Ε Κ$ και $Δ Κ Γ$ έχουν:

$Ε Κ = Κ Γ$ , λόγω της $(1)$
$B E = Δ Γ$ , ως διαφορές των ίσων τμημάτων $Α Ε$ , $Α Β$ και $Α Γ$ , $Α Δ$ αντίστοιχα
$\hat{Β Ε Κ} = \hat{Δ Γ Κ}$ ως διαφορές των ίσων γωνιών $\hat{Β Ε Γ}$ , $\hat{Κ Ε Γ}$ και $\hat{Δ Γ Ε}$ , $\hat{Κ Γ Ε}$ αντίστοιχα

Τα τρίγωνα $Β Ε Κ$ και $Δ Κ Γ$ έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες σε αυτές ίσες άρα είναι ίσα, οπότε έχουν και $Β Κ = Κ Δ$ αφού βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες $\hat{Β Ε Κ}$ και $\hat{Δ Γ Κ}$ .

γ) Τα τρίγωνα $Α Β Κ$ και $Α Κ Δ$ έχουν:

$Β Κ = Κ Δ$ από το (β) ερώτημα
$Α Κ$ κοινή
$Α Β = Α Δ$

Οπότε τα τρίγωνα $Α Β Κ$ και $Α Κ Δ$ είναι ίσα γιατί έχουν τρεις πλευρές ίσες μία προς μία.

Επομένως $\hat{Β Α Κ} = \hat{Κ Α Δ}$ ως γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές $Β Κ$ και $Κ Δ$ , οπότε η $Α Κ$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{Α}$ .

δ) Επειδή το τρίγωνο $Α Ε Γ$ είναι ισοσκελές και η $Α Μ$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{Α}$ , θα είναι διάμεσος και ύψος, άρα η $Α Μ$ είναι μεσοκάθετος της $Ε Γ$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).