Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	37140	Ύλη:	3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.4. Ρόμβος 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	37140
Ύλη:	3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.4. Ρόμβος 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου
Τελευταία Ενημέρωση: 08-Ιουν-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $Α Β Γ$ και τα μέσα $Δ$ , $Ε$ και $Μ$ των $Α Β$ , $Α Γ$ και $Β Γ$ αντίστοιχα. Στην προέκταση του $Μ Δ$ (προς το $Δ$ ) θεωρούμε τμήμα $Δ Ζ = Δ Μ$ .
Να αποδείξετε ότι:

α) Τα τρίγωνα $Α Ζ Δ$ και $Β Μ Δ$ είναι ίσα.
(Μονάδες 6)

β) Το τετράπλευρο $Ζ Α Γ Μ$ είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 6)

γ) Τα τμήματα $Ζ Ε$ και $Α Δ$ τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται.
(Μονάδες 7)

δ) Η $Β Ζ$ είναι κάθετη στη $Ζ Α$ . (Μονάδες 6)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Τα τρίγωνα $Α Ζ Δ$ και $Β Μ Δ$ έχουν:

$Δ Z = Δ M$ , από υπόθεση
$Α Δ = Δ Β$ , διότι $Δ$ είναι μέσο του $Α Β$
$\hat{A Δ Z} = \hat{B Δ Μ}$ , ως κατακορυφήν

Τα τρίγωνα $Α Ζ Δ$ και $Β Μ Δ$ έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες άρα είναι ίσα.

β) Το $Δ Μ$ ενώνει τα μέσα των πλευρών $Α Β$ και $Β Γ$ στο τρίγωνο $Α Β Γ$ , άρα η $Δ Μ ∥ Α Γ$ οπότε και $Ζ Μ ∥ Α Γ$ και $Δ Μ = \frac{Α Γ}{2}$ . Όμως το $Δ$ είναι μέσο του $Ζ Μ$ άρα $Δ Μ = \frac{Ζ Μ}{2}$ . Συνεπώς $Ζ Μ = Α Γ$ .

Τελικά οι απέναντι πλευρές $Ζ Μ$ και $Α Γ$ του τετραπλεύρου $Ζ Α Γ Μ$ είναι παράλληλες και ίσες οπότε το τετράπλευρο $Ζ Α Γ Μ$ είναι παραλληλόγραμμο.

γ) Επειδή το $Ζ Α Γ Μ$ είναι παραλληλόγραμμο ισχύει ότι $Ζ Α ∥ Μ Γ$ δηλαδή $Ζ Α ∥ Β Γ$ και $Ζ Α = Μ Γ$ .

Στο τρίγωνο $Α Β Γ$ το $Δ Ε$ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου οπότε:
$Δ Ε ∥ Β Γ$ και $Δ Ε = \frac{Β Γ}{2}$ .

Όμως το $Μ$ είναι μέσο του $Β Γ$ άρα $Δ Ε = Μ Γ$ .

Οπότε $Ζ Α ∥ Δ Ε$ και $Ζ Α = Δ Ε$ , δηλαδή το τετράπλευρο $Ζ Α Ε Δ$ έχει τις απέναντι πλευρές του $Ζ Α$ και $Δ Ε$ ίσες παράλληλες οπότε είναι παραλληλόγραμμο.

Επιπλέον ισχύει ότι: ΔΕ = $\frac{Β Γ}{2}$ και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο οπότε $Β Γ = Α Γ$ . Συνεπώς $Δ Ε = \frac{Α Γ}{2}$ . Όμως $Ε$ μέσο του $Α Γ$ άρα $Α Ε = \frac{Α Γ}{2}$ . Οπότε $Δ Ε = Α Ε$ .

Επομένως το παραλληλόγραμμο $Α Ε Δ Ζ$ έχει τις διαδοχικές του πλευρές $Δ Ε$ και $Α Ε$ ίσες οπότε είναι ρόμβος.

Τα τμήματα $Ζ Ε$ , $Α Δ$ είναι διαγώνιοι του ρόμβου, οπότε τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται.

δ) Είναι $Ζ Δ = Δ Μ = \frac{Α Γ}{2} = \frac{Α Β}{2}$ .

Στο τρίγωνο $Ζ Α Β$ η $Ζ Δ$ είναι διάμεσος και ισούται με το μισό της πλευράς $Α Β$ στην οποία αντιστοιχεί. Άρα το τρίγωνο $Ζ Α Β$ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την $Α Β$ , οπότε η $Z B$ είναι κάθετη στη $Ζ Α$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).