Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37168 | Ύλη: | 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37168 |
| Ύλη: | 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνονται οι ανισώσεις :
$$−x^{2}+5x−6 < 0\ \ \ \ (1)$$ $$x^{2}−16\le 0\ \ \ \ (2)$$
α) Να βρεθούν οι λύσεις των \((1)\), \((2)\).
(Μονάδες 12)
β) Να παρασταθούν οι λύσεις των ανισώσεων \((1)\) και \((2)\) πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων.
(Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
Λύση
α) Το τριώνυμο \(−x^{2}+5x−6\) έχει \(α=−1\), \(β=5\), \(γ=−6\) και διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}−4αγ$$ $$=5^{2}−4\cdot (−1)\cdot (−6)$$ $$=25−24=1>0$$
Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:
$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{−β\pm \sqrt{Δ}}{2a}$$ $$=\dfrac{−5\pm \sqrt{1}}{2\cdot (−1)}=2\ \text{και}\ 3$$
Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
Επομένως ισχύει:
$$−x^{2}+5x−6 < 0 $$ $$\Leftrightarrow (x<2\ \ \text{ή}\ \ x>3) $$ $$\Leftrightarrow x\in (−\infty ,2)\cup (3,+\infty)$$
Την ανίσωση \(x^{2}−16\le 0\) θα την λύσουμε με συντομότερο τρόπο. Ισχύει ότι:
$$x^{2}−16\le 0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}\le 16 $$ $$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}}\le \sqrt{16} $$ $$\Leftrightarrow |x|\le 4 $$ $$\Leftrightarrow −4\le x\le 4 $$ $$\Leftrightarrow x\in [−4,4]$$
β) Αναπαριστούμε τις λύσεις των παραπάνω εξισώσεων στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα που ακολουθεί:
οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι:
$$−4\le x < 2\ \ \text{ή}\ \ 3 < x\le 4 $$ $$\Leftrightarrow x\in [−4,2)\cup (3,4]$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).