Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37169	Ύλη:	4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37169
Ύλη:	4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται το τριώνυμο $- x^{2} + (\sqrt{3} - 1) x + \sqrt{3}$ .

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι :

$Δ = (\sqrt{3} + 1)^{2}$

(Μονάδες 12)

β) Να παραγοντοποιήσετε το αρχικό τριώνυμο.
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $- x^{2} + (\sqrt{3} - 1) x + \sqrt{3}$ έχει συντελεστές $a = - 1$ , $β = \sqrt{3} - 1$ , $γ = \sqrt{3}$ και διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (\sqrt{3} - 1)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot \sqrt{3}$ $= {\sqrt{3}}^{2} - 2 \sqrt{3} + 1^{2} + 4 \sqrt{3}$ $= {\sqrt{3}}^{2} + 2 \sqrt{3} + 1^{2}$ $= (\sqrt{3} + 1)^{2} > 0$

β) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$x_{1,2} = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ $= \frac{- (\sqrt{3} - 1) \pm \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^{2}}}{2 \cdot (- 1)}$ $= {\begin{cases} \frac{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{- 2} & = - 1 \\ \frac{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{- 2} & = \sqrt{3} \end{cases}$

Επομένως η παραγοντοποίηση γίνεται:

$- x^{2} + (\sqrt{3} - 1) x + \sqrt{3} = - (x - (- 1)) (x - \sqrt{3})$ $= - (x + 1) (x - \sqrt{3})$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).