Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37169 | Ύλη: | 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37169 |
| Ύλη: | 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται το τριώνυμο \(-x^{2}+(\sqrt{3}-1)x+\sqrt{3}\).
α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι :
$$Δ=(\sqrt{3}+1)^{2}$$
(Μονάδες 12)
β) Να παραγοντοποιήσετε το αρχικό τριώνυμο.
(Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Το τριώνυμο \(-x^{2}+(\sqrt{3}-1)x+\sqrt{3}\) έχει συντελεστές \(a=-1\), \(β=\sqrt{3}-1\), \(γ=\sqrt{3}\) και διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(\sqrt{3}-1)^{2}-4\cdot (-1)\cdot \sqrt{3}$$ $$=\sqrt{3}^{2}-2\sqrt{3}+1^{2}+4\sqrt{3}$$ $$=\sqrt{3}^{2}+2\sqrt{3}+1^{2}$$ $$=(\sqrt{3}+1)^{2}>0$$
β) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:
$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2a}$$ $$=\dfrac{-(\sqrt{3}-1)\pm \sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}}{2\cdot (-1)}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{1-\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{-2} &=-1 \\ \dfrac{1-\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{-2} &= \sqrt{3} \end{cases}$$
Επομένως η παραγοντοποίηση γίνεται:
$$-x^{2}+(\sqrt{3}-1)x+\sqrt{3}=-(x-(-1))(x-\sqrt{3})$$ $$=-(x+1)(x-\sqrt{3})$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).