Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37178	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37178
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Το πάτωμα του εργαστηρίου της πληροφορικής ενός σχολείου είναι σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις $x + 1$ μέτρα και $x$ μέτρα.

α) Να γράψετε με τη βοήθεια του $x$ την περίμετρο και το εμβαδόν του πατώματος.
(Μονάδες 10)

β) Αν το εμβαδόν του πατώματος του εργαστηρίου είναι $90$ τετραγωνικά μέτρα, να βρείτε τις διαστάσεις του.
(Μονάδες 15)

Απάντηση Θέματος:

α) Η περίμετρος $Π$ του ορθογωνίου είναι:

$Π = 2 (x + 1) + 2 x = 4 x + 2, με x > 0$

και το εμβαδόν του $Ε$ είναι:

$E = x (x + 1) = x^{2} + x, με x > 0$

β) Ισχύει ότι:

$Ε = 90$ $\Leftrightarrow x^{2} + x = 90$ $\Leftrightarrow x^{2} + x - 90 = 0.$

Το τριώνυμο $x^{2} + x - 90$ έχει $α = 1, β = 1, γ = - 90$ και διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 a \cdot γ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 90) = 361 > 0$

Οι ρίζες της εξίσωσης $x^{2} + x - 90 = 0$ είναι:

$\begin{aligned} x_{1, 2} & = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 α} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{361}}{2} \\ = \frac{- 1 \pm 19}{2} \\ = {\begin{cases} \frac{- 1 + 19}{2} = 9 \\ \frac{- 1 - 19}{2} = - 10 \end{cases} \end{aligned}$

Η λύση $x = - 10$ απορρίπτεται αφού $x > 0$ .
Συνεπώς, οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι $x = 9$ μέτρα και $x + 1 = 10$ μέτρα.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).