Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37178	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37178
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Το πάτωμα του εργαστηρίου της πληροφορικής ενός σχολείου είναι σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις $x+1$ μέτρα και $x$ μέτρα.

α) Να γράψετε με τη βοήθεια του $x$ την περίμετρο και το εμβαδόν του πατώματος.
(Μονάδες 10)

β) Αν το εμβαδόν του πατώματος του εργαστηρίου είναι $90$ τετραγωνικά μέτρα, να βρείτε τις διαστάσεις του.
(Μονάδες 15)

Απάντηση Θέματος:

α) Η περίμετρος $Π$ του ορθογωνίου είναι:

$$Π=2(x+1)+2x=4x+2, \text{ με } x>0$$

και το εμβαδόν του $Ε$ είναι:

$$E=x(x+1)=x^{2}+x, \text{ με }x>0$$

β) Ισχύει ότι:

$$Ε=90$$ $$\Leftrightarrow x^{2}+x=90$$ $$\Leftrightarrow x^{2}+x-90=0. $$

Το τριώνυμο $x^{2}+x-90$ έχει $α=1,β=1,γ=-90$ και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4a\cdot γ=1^{2}-4\cdot 1\cdot (-90)=361>0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης $x^{2}+x-90=0$ είναι:

$$\begin{align} x_{1,2} & =\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}\\ & =\dfrac{-1\pm \sqrt{361}}{2}\\ &=\dfrac{-1\pm 19}{2} \\ & = \begin{cases} \dfrac{-1+19}{2} =9 \\ \dfrac{-1-19}{2} =-10\end{cases}\end{align}$$

Η λύση $x=-10$ απορρίπτεται αφού $x>0$.
Συνεπώς, οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι $x=9$ μέτρα και $x+1=10$ μέτρα.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).