Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	37189	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	37189
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 31-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = x + \frac{1}{x}, x \neq 0$ .

α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $A = f (\frac{1}{2}) + f (1) - f (2)$ .
(Μονάδες 10)

β) Να λύσετε την εξίσωση $f (x) = \frac{5}{2}$ .
(Μονάδες 15)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Ισχύουν:

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$ $= \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2}$

$f (1) = 1 + \frac{1}{1}$ $= 1 + 1 = 2$

$f (2) = 2 + \frac{1}{2}$ $= \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Οπότε:

$A = f (\frac{1}{2}) + f (1) - f (2)$ $= \frac{5}{2} + 2 - \frac{5}{2} = 2$

β) Ισχύει ότι:

$f (x) = \frac{5}{2}$ $\Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{x^{2} + 1}{x} = \frac{5}{2}$ $\Leftrightarrow 2 (x^{2} + 1) = 5 x$ $\Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 = 5 x$ $\Leftrightarrow 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Το τριώνυμο $2 x^{2} - 5 x + 2$ έχει $α = 2$ , $β = - 5$ , $γ = 2$ και διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2$ $= 25 - 16 = 9 > 0$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$x_{1,2} = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ $= \frac{- (- 5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$ $= \frac{5 \pm 3}{4}$ $= {\begin{cases} \frac{5 + 3}{4} = 2 \\ \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \end{cases}$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).