Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	37190	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	37190
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 3

α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: $A = x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ .
(Μονάδες 13)

β) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f (x) = \frac{3}{x}$ και $g (x) = x^{2} - x + 3$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το $Α (1, 3)$ .
(Μονάδες 12)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$A = x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ $= x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)$ $= (x - 1) (x^{2} + 3)$

β) Η συνάρτηση $f$ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο $Α = R^{*} = R - {0}$ και η συνάρτηση $g$ το σύνολο $Β = R$ .

Τα σημεία τομής τους προκύπτουν από τη λύση του συστήματος:

${\begin{cases} y = f (x) \\ y = g (x) \end{cases}$

Έχουμε:

$f (x) = g (x)$ $\Leftrightarrow \frac{3}{x} = x^{2} - x + 3$ $\Leftrightarrow 3 = x (x^{2} - x + 3)$ $\Leftrightarrow 3 = x^{3} - x^{2} + 3 x$ $\Leftrightarrow x^{3} - x^{2} + 3 x - 3 = 0$ $\overset{(a)}{\Leftrightarrow} (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ $\Leftrightarrow x - 1 = 0 ή x^{2} + 3 = 0 αδύνατη$ $\Leftrightarrow x = 1$

Για $x = 1$ είναι $f (1) = 3$ .

Άρα το σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ , $g$ είναι το $Α (1, 3)$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).