Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37199	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37199
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024

ΘΕΜΑ 2

Δίνονται οι αριθμοί: $A = (\sqrt{2})^{6}$ και $B = (\sqrt[3]{2})^{6}$ .

α) Να δείξετε ότι: $A - B = 4$ .
(Μονάδες 13)

β) Να δείξετε ότι: $1 < \sqrt[3]{2} < \sqrt{2}$ .

(Μονάδες 12)

Απάντηση Θέματος:

α) Είναι:

$\begin{aligned} A - B & = (\sqrt{2})^{6} - (\sqrt[3]{2})^{6} \\ = [(\sqrt{2})^{2}]^{3} - [(\sqrt[3]{2})^{3}]^{2} \\ = 2^{3} - 2^{2} \\ = 8 - 4 \\ = 4 \end{aligned}$

β) Ισχύει ότι:

$1 < 2$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{2}$ $\Leftrightarrow 1 < \sqrt[3]{2} (1)$

Από το (α) ερώτημα:

$A - B = 4 > 0$ $\Leftrightarrow A > B$ $\Leftrightarrow (\sqrt{2})^{6} > (\sqrt[3]{2})^{6}$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} > \sqrt[3]{2} (2)$

Άρα από $(1)$ και $(2)$ έχουμε:

$1 < \sqrt[3]{2} < \sqrt{2}$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).