Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37202	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37202
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024

ΘΕΜΑ 2

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο $x^{2} - 5 x + 6$
(Μονάδες 12)

β) Δίνεται η συνάρτηση

$f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Να βρείτε το πεδίο ορισμού $Α$ της συνάρτησης.
(Μονάδες 5)
Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in A$ ισχύει

$f (x) = \frac{1}{x - 3}$

(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

α) Το τριώνυμο $x^{2} - 5 x + 6$ έχει $α = 1, β = - 5, γ = 6$ και διακρίνουσα

$Δ = β^{2} - 4 α γ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$\begin{aligned} x_{1, 2} & = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 α} \\ = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{5 \pm 1}{2} \\ = {\begin{cases} \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \end{cases} \end{aligned}$

Οπότε:

$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$

β)

Πρέπει:

$x^{2} - 5 x + 6 \neq 0$ $\Leftrightarrow (x - 2) (x - 3) \neq 0$ $\Leftrightarrow {x - 2 \neq 0 και x - 3 \neq 0}$ $\Leftrightarrow {x \neq 2 και x \neq 3}$

Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ είναι το $A = R - {2, 3}$ .
Ο τύπος της συνάρτησης $f$ γράφεται:

$\begin{aligned} f (x) & = \frac{x - 2}{x^{2} - 5 x + 6} \\ = \frac{x - 2}{(x - 2) (x - 3)} \\ = \frac{1}{x - 3} \end{aligned}$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).