Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37206 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37206 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
| Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνονται οι συναρτήσεις \(f(x)=x^{2}+3x+2\) και \(g(x)=x+1\), \(x\in \mathbb{R}\)
α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f\), \(g\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το οποίο στη συνέχεια να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 10)
β) Δίνεται η συνάρτηση \(h(x)=x+a\). Να δείξετε ότι:
- Αν \(a>1\), τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f\), \(h\) έχουν δύο κοινά σημεία.
- Αν \(a<1\), τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f\), \(h\) δεν έχουν κοινά σημεία.
(Μονάδες 15)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Οι τετμημένες των σημείων τομής των \(C_{f}\), \(C_{g}\) αποτελούν λύσεις της εξίσωσης \(f(x)=g(x)\). Τότε:
$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+3x+2=x+1 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+1=0 $$ $$\Leftrightarrow (x+1)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow x+1=0 $$ $$\Leftrightarrow x=-1$$
Άρα οι \(C_{f}\), \(C_{g}\) έχουν μόνο ένα κοινό σημείο, το \(A(-1,g(-1))\) δηλαδή το \(A(-1,0)\). (η ευθεία εφάπτεται της παραβολής).
β) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των \(C_{f}\), \(C_{h}\) είναι λύσεις της εξίσωσης \(f(x)=h(x)\). Δηλαδή:
$$f(x)=h(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+3x+2=x+a$$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+(2-a)=0,\ \ a\in \mathbb{R}\ \ \ \ (1)$$
Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:
$$Δ=2^{2}-4\cdot 1\cdot (2-a)$$ $$=4-8+4a$$ $$=4a-4$$ $$=4(a-1)$$
- Αν \(a>1\) τότε \(Δ>0\) και η εξίσωση \((1)\) έχει δύο ρίζες άνισες το οποίο σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των \(f\), \(h\) έχουν δύο κοινά σημεία.
- Αν \(a<1\) τότε \(Δ<0\) και η εξίσωση \((1)\) δεν έχει πραγματικές ρίζες το οποίο σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των \(f\), \(h\) δεν έχουν κοινά σημεία.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).