Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	37206	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	37206
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = x^{2} + 3 x + 2$ και $g (x) = x + 1$ , $x \in R$

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ , $g$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το οποίο στη συνέχεια να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 10)

β) Δίνεται η συνάρτηση $h (x) = x + a$ . Να δείξετε ότι:

Αν $a > 1$ , τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ , $h$ έχουν δύο κοινά σημεία.
Αν $a < 1$ , τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ , $h$ δεν έχουν κοινά σημεία.

(Μονάδες 15)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Οι τετμημένες των σημείων τομής των $C_{f}$ , $C_{g}$ αποτελούν λύσεις της εξίσωσης $f (x) = g (x)$ . Τότε:

$f (x) = g (x)$ $\Leftrightarrow x^{2} + 3 x + 2 = x + 1$ $\Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow (x + 1)^{2} = 0$ $\Leftrightarrow x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow x = - 1$

Άρα οι $C_{f}$ , $C_{g}$ έχουν μόνο ένα κοινό σημείο, το $A (- 1, g (- 1))$ δηλαδή το $A (- 1, 0)$ . (η ευθεία εφάπτεται της παραβολής).

β) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των $C_{f}$ , $C_{h}$ είναι λύσεις της εξίσωσης $f (x) = h (x)$ . Δηλαδή:

$f (x) = h (x)$ $\Leftrightarrow x^{2} + 3 x + 2 = x + a$ $\Leftrightarrow x^{2} + 2 x + (2 - a) = 0, a \in R (1)$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 - a)$ $= 4 - 8 + 4 a$ $= 4 a - 4$ $= 4 (a - 1)$

Αν $a > 1$ τότε $Δ > 0$ και η εξίσωση $(1)$ έχει δύο ρίζες άνισες το οποίο σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f$ , $h$ έχουν δύο κοινά σημεία.
Αν $a < 1$ τότε $Δ < 0$ και η εξίσωση $(1)$ δεν έχει πραγματικές ρίζες το οποίο σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f$ , $h$ δεν έχουν κοινά σημεία.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).