Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	37476	Ύλη:	4.2 Διαίρεση πολυωνύμων 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	37476
Ύλη:	4.2 Διαίρεση πολυωνύμων 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το πολυώνυμο $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ . Να αποδείξετε ότι:

α) το $P (x)$ έχει παράγοντα το $x - 1$ και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης $P (x) : (x - 1)$ .
(Μονάδες 6)

β) $P (x) < 0$ για κάθε $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, 2)$ .
(Μονάδες 7)

γ) $1 < \log 20 < 2$ .
(Μονάδες 6)

δ) $P (\log 20) < 0$ .
(Μονάδες 6)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Είναι $P (1) = 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$ που σημαίνει ότι το $P (x)$ έχει παράγοντα το $x - 1$ . Το σχήμα Horner για τη διαίρεση $P (x) : (x - 1)$ φαίνεται παρακάτω:

Συνεπώς $P (x) = (x - 1) (x^{2} - x - 2)$ .

β) Το πρόσημο του $P (x) = (x - 1) (x^{2} - x - 2)$ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Συνεπώς $P (x) < 0$ για κάθε $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, 2)$ .

γ) Είναι $10 < 20 < 100$
$\Rightarrow \log 10 < \log 20 < \log 100$
$\Rightarrow 1 < \log 20 < 2.$

δ) Αφού $P (x) < 0$ για κάθε $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, 2)$ και $1 < \log 20 < 2$ συμπεραίνουμε ότι $P (\log 20) < 0$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).