Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37817	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37817
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 04-Φεβ-2025

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η παράσταση $Α = x^{4} + \frac{x^{4} - 4}{x^{2} - 2}$ , $x \neq \pm \sqrt{2}$ .

α) Να δείξετε ότι $Α = x^{4} + x^{2} + 2$ .
(Μονάδες 15)

β)
i. Να αιτιολογήσετε γιατί $Α > 0$ για κάθε $x \neq \pm \sqrt{2}$
(Μονάδες 5)

ii. Για ποια τιμή του $x$ η παράσταση $Α$ παίρνει τη μικρότερη τιμή της;
(Μονάδες 5)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Για κάθε $x \neq \pm \sqrt{2}$ έχουμε:

$\begin{aligned} Α & = x^{4} + \frac{x^{4} - 4}{x^{2} - 2} \\ = x^{4} + \frac{(x^{2} - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} - 2} \\ = x^{4} + (x^{2} + 2) \\ = x^{4} + x^{2} + 2 \end{aligned}$

β)
i. Παρατηρούμε ότι $x^{4} \geq 0$ , $x^{2} \geq 0$ και $2 > 0$ , άρα $x^{4} + x^{2} + 2 > 0$ , δηλαδή $Α > 0$ .

ii. Εφόσον $x^{4} \geq 0$ , $x^{2} \geq 0$ , για $x = 0$ η παράσταση $Α$ παίρνει τη μικρότερη τιμή της που είναι ίση με $2$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).