Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37817 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37817 |
| Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών |
| Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η παράσταση \(Α=x^{4}+\dfrac{x^{4}-4}{x^{2}-2}\), \(x\ne \pm \sqrt{2}\).
α) Να δείξετε ότι \(Α=x^{4}+x^{2}+2\).
(Μονάδες 15)
β)
i. Να αιτιολογήσετε γιατί \(Α>0\) για κάθε \(x\ne \pm \sqrt{2}\)
(Μονάδες 5)
ii. Για ποια τιμή του \(x\) η παράσταση \(Α\) παίρνει τη μικρότερη τιμή της;
(Μονάδες 5)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Για κάθε \(x\ne \pm \sqrt{2}\) έχουμε:
\begin{align} Α & =x^{4}+\dfrac{x^{4}-4}{x^{2}-2} \\ & = x^{4}+\dfrac{(x^{2}-2)(x^{2}+2)}{x^{2}-2} \\ & =x^{4}+(x^{2}+2) \\ & =x^{4}+x^{2}+2 \end{align}
β)
i. Παρατηρούμε ότι \(x^{4}\ge 0,x^{2}\ge 0\) και \(2>0\), άρα \(x^{4}+x^{2}+2>0\), δηλαδή \(Α>0\).
ii. Εφόσον \(x^{4}\ge 0,x^{2}\ge 0\), για \(x=0\) η παράσταση \(Α\) παίρνει τη μικρότερη τιμή της που είναι ίση με \(2\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).