ΛΥΣΗ

α) Επειδή \(x\) και \(y\) είναι μήκη πλευρών έχουμε \(x>0\) και \(y>0\) με \(x+y=10 \Leftrightarrow y=10-x\).
Από τον τύπο του εμβαδού τριγώνου έχουμε:

$$Ε(x)=\dfrac{1}{2}x\cdot y$$ $$=\dfrac{1}{2}x\cdot (10-x)$$ $$=\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})$$

με \(x\in (0,10)\).

β)

1. Αρκεί να αποδείξουμε την σχέση \(Ε(x)\le \dfrac{25}{2}\) για κάθε \(x\in (0,10)\), αρκεί:

   $$\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})\le \dfrac{25}{2}$$ $$\Leftrightarrow 10x-x^{2}\le 25$$ $$\Leftrightarrow x^{2}-10x+25\ge 0$$ $$\Leftrightarrow (x-5)^{2}\ge 0$$

   ισχύει για \(x\in (0,10)\).

2. Tο εμβαδόν γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \(\dfrac{25}{2}\) για \(x=5\) γιατί:

   $$Ε(x)=\dfrac{25}{2} $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(10x-x^{2})=\dfrac{25}{2} $$ $$\Leftrightarrow (x-5)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow x=5$$

γ) Όταν \(x=5\) τότε \(y=5\), άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισοσκελές.