Θέμα: 14920

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 4018 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	14920	Θέμα:	2
Τελευταία Ενημέρωση:	13-Νοε-2023	Ύλη:	3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14920
Ύλη:	3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Μια γεωμετρική πρόοδος $(α_{ν})$ έχει πρώτο όρο $α_{1} = 4$ , λόγο $λ > 0$ και $\frac{α_{3}}{α_{1}} = 4$ .

α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι $λ = 2$ .
(Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τον δέκατο όρο της προόδου.
(Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε το άθροισμα των $10$ πρώτων όρων της προόδου.
(Μονάδες 8)

α) Έχουμε

$\frac{α_{3}}{α_{1}} = 4$ $\Rightarrow \frac{α_{1} \cdot λ^{2}}{α_{1}} = 4$ $\Rightarrow λ^{2} = 4$ $\Rightarrow λ = \pm 2$

Επειδή $λ > 0$ , θα είναι: $λ = 2$ .

β) Έχουμε:

$α_{10} = α_{1} \cdot λ^{9}$ $= 4 \cdot 2^{9}$ $= 4 \cdot 512$ $= 2048$

γ) Έχουμε:

$S_{10} = α_{1} \cdot \frac{λ^{10} - 1}{λ - 1}$ $= 4 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1}$ $= 4 \cdot 1023$ $= 4092$