Θέμα: 14920

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 3099 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	14920	Θέμα:	2
Τελευταία Ενημέρωση:	13-Νοε-2023	Ύλη:	3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14920
Ύλη:	3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Μια γεωμετρική πρόοδος $(α_{ν})$ έχει πρώτο όρο $α_{1}=4$, λόγο $λ>0$ και $\dfrac{α_{3}}{α_{1}}=4$.

α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι $λ=2$.
(Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τον δέκατο όρο της προόδου.
(Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε το άθροισμα των $10$ πρώτων όρων της προόδου.
(Μονάδες 8)

α) Έχουμε

$$\dfrac{α_{3}}{α_{1}}=4$$ $$\Rightarrow \dfrac{α_{1}\cdot λ^{2}}{α_{1}}=4$$ $$\Rightarrow λ^{2}=4$$ $$\Rightarrow λ=\pm 2$$

Επειδή $λ>0$, θα είναι: $λ=2$.

β) Έχουμε:

$$α_{10}=α_{1}\cdot λ^{9}$$ $$=4\cdot 2^{9}$$ $$=4\cdot 512$$ $$=2048$$

γ) Έχουμε:

$$S_{10}=α_{1}\cdot \dfrac{λ^{10}-1}{λ-1}$$ $$=4\cdot \dfrac{2^{10}-1}{2-1}$$ $$=4\cdot 1023$$ $$=4092$$