ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$(2-\sqrt{5}{)}^2=4-4\sqrt{5}+{\sqrt{5}}^2$$ $$=4-4\sqrt{5}+5$$ $$=9-4\sqrt{5}$$

Ομοίως έχουμε:

$$(2+\sqrt{5}{)}^2=4+4\sqrt{5}+{\sqrt{5}}^2$$ $$=4+4\sqrt{5}+5$$ $$=9+4\sqrt{5}$$

β) Από το ερώτημα (α) έχουμε:

$$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{(2-\sqrt{5}{)}^2}$$ $$=|2-\sqrt{5}|$$ $$=\sqrt{5}-2$$

αφού ο αριθμός $2-\sqrt{5}$ είναι αρνητικός οπότε:

$$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$$

Επίσης:

$$\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{(2+\sqrt{5}{)}^2}$$ $$=|2+\sqrt{5}|$$ $$=2+\sqrt{5}$$

αφού ο αριθμός $2+\sqrt{5}$ είναι θετικός, οπότε:

$$|2+\sqrt{5}|=2+\sqrt{5}$$