ΘΕΜΑ 4
4.1. Η τροχαλία, υπό την επίδραση της ροπής της δύναμης \(\vec{F}\) εκτελεί στροφική ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική γωνιακή ταχύτητα. Για την κίνησή της ισχύει:

$$α_{γ}=\dfrac{Δω}{Δt} $$ $$\Rightarrow α_{γ}=\dfrac{ω-ω_{0}}{t-t_{0}} $$ $$\overset{ω_0=0,\ t_0=0}{\Longrightarrow} ω=α_{γ}t \ \ \ \ (1)$$

Η γραφική παράσταση γωνιακής ταχύτητας-χρόνου είναι η επόμενη:

Το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου τριγώνου είναι αριθμητικά ίσο με την επίκεντρη γωνία που διαγράφει οποιαδήποτε επιβατική ακτίνα της τροχαλίας. Άρα,

$$Δθ=(ΟΑΒ)=\dfrac{1}{2}\ \text{βάση}\cdot \text{ύψος}$$ $$\Rightarrow Δθ=\dfrac{1}{2}ωt=\dfrac{1}{2}α_{γ}t^{2}\ \ \ \ (2)$$

Όταν η τροχαλία έχει διαγράψει \(\dfrac{4}{π}\) περιστροφές, τότε η επιβατική ακτίνα κάθε σημείου της έχει διαγράψει επίκεντρη γωνία ίση με:

$$Δθ=2πΝ=2π\cdot \dfrac{4}{π}\ rad=8\ rad$$

Θα κάνουμε απαλοιφή του χρόνου από τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\) για να υπολογίσουμε την γωνιακή επιτάχυνση. Λύνουμε την σχέση \((1)\) ως προς τον χρόνο, δηλαδή \(t=\dfrac{ω}{α_{γ}}\) και αντικαθιστούμε στην σχέση \((2)\). Έχουμε:

$$Δθ=\dfrac{1}{2}α_{γ}(\dfrac{ω}{α_γ})^{2}$$ $$\Leftrightarrow Δθ=\dfrac{ω^{2}}{2α_{γ}}$$ $$\Leftrightarrow α_{γ}=\dfrac{ω^{2}}{2Δθ}$$ $$\Leftrightarrow α_γ=\dfrac{8^{2}}{2\cdot 8}\ \dfrac{rad}{s^{2}}=4\ \dfrac{rad}{s^{2}}$$

Μονάδες 6

4.2. Την χρονική στιγμή \(t_{1}=3\ s\) η γωνιακή ταχύτητα κάθε σημείου της τροχαλίας δίνεται από την σχέση \((1)\) και είναι:

$$ω_{1}=α_{γ}\cdot t_{1}$$ $$\Rightarrow ω_1=4\ \dfrac{rad}{s^{2}}\cdot 3\ s=12\ \dfrac{rad}{s}$$

Ηγραμμική ταχύτητα στο ανώτερο σημείο της τροχαλίας έχει την ίδια διεύθυνση με το νήμα, φορά προς τα δεξιά και μέτρο:

$$υ_{1}=ω_{1}\cdot R$$ $$\Rightarrow υ_1=12\ \dfrac{rad}{s}\cdot 0,3\ m=3,6\ \dfrac{m}{s}$$

Μονάδες 6

4. 3. Η τροχαλία δέχεται τρεις δυνάμεις, το βάρος της \(\vec{W}\), την δύναμη \(\vec{F}\) και την δύναμη στήριξης \(\vec{N}\) από τον άξονα. Το βάρος \(\vec{W}\) και η δύναμη \(\vec{N}\) δεν ασκούν ροπή ως προς τον άξονα της τροχαλίας γιατί ο φορέας τους τέμνει τον άξονα περιστροφής (ο μοχλοβραχίονας είναι μηδέν).

Ορίζοντας ως θετική φορά την φορά περιστροφής της τροχαλίας, η συνολική ροπή ως προς τον άξονα είναι:

$$Σ\vec{τ}=\vec{τ}_{\vec{F}}+\vec{τ}_{\vec{W}}+\vec{τ}_{\vec{N}}$$ $$\Leftrightarrow Στ=F\cdot R+0+0=20\ N\cdot 0,3\ m=6\ Nm$$

Μονάδες 6

4. 4. Η επίκεντρη γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα κάθε σημείου της τροχαλίας από την χρονική στιγμή \(t_{1}=3\ s\) ως την χρονική στιγμή \(t_{2}=4\ s\) (το \(4ο\) δευτερόλεπτο) μπορεί να υπολογιστεί από την γραφική παράσταση γωνιακής ταχύτητας χρόνου, μέσω του εμβαδού. ΄Όπως φαίνεται από το επόμενο σχήμα, είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδό του τραπεζίου \(ΚΛΜΝ\), με

$$ω_{2}=α_{γ}t_{2}$$ $$\Rightarrow ω_2=4\cdot 4\ \dfrac{rad}{s}=16\ \dfrac{rad}{s}$$

$$Δθ_{1}=(ΚΛΜΝ)=\dfrac{ω_{1}+ω_{2}}{2}Δt$$ $$\Rightarrow Δθ_1=\dfrac{(12+16)}{2}\cdot 1\ rad=14\ rad$$

Το μήκος του νήματος που ξετυλίγεται είναι ίσο με το μήκος τόξου της περιφέρειας της τροχαλίας που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία \(Δθ_{1}\), δηλαδή

$$s=R\cdot Δθ_{1}$$ $$\Rightarrow s=0,3\ m\cdot 14\ rad=4,2\ m$$

Μονάδες 7