ΛΥΣΗ

α) Για κάθε $x>0$, έχουμε:

$$f^{\prime }(x)=a[(x{)}^{\prime }\cdot e^{-\beta x}+x(e^{-\beta x}{)}^{\prime }]$$ $$=a[e^{-\beta x}+x(-\beta x{)}^{\prime }\cdot e^{-\beta x}]$$ $$=\alpha \cdot e^{-\beta x}\cdot (1-\beta x)$$

Έχουμε:

$$f^{\prime }(x)\ge 0$$ $$\iff 1-\beta x\ge 0$$ $$\iff x\le {\displaystyle \frac{1}{\beta }}$$

οπότε παίρνουμε τον παρακάτω πίνακα.

Επομένως όταν ο τρέχων πληθυσμός είναι $x={\displaystyle \frac{1}{\beta }}$, τότε ο πληθυσμός την αμέσως επόμενη χρονιά θα πάρει την μεγαλύτερη δυνατή τιμή, ίση με:

$$f({\displaystyle \frac{1}{\beta }})={\displaystyle \frac{\alpha }{\beta e}}$$

β) Καθώς θέλουμε να προσεγγίσουμε τον πληθυσμό $y$ των ψαριών, όταν την αμέσως προηγούμενη χρονιά, ο πληθυσμός είναι απεριόριστα μεγάλος, ζητάμε το:

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=\underset{x\to +\infty }{lim}\alpha {\displaystyle \frac{x}{e^{\beta x}}}$$

και παρατηρούμε ότι έχουμε απροσδιοριστία ${\displaystyle \frac{+\infty }{+\infty }}$.

Ελέγχουμε αν υπάρχει το:

$$\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{(x{)}^{\prime }}{(e^{\beta x}{)}^{\prime }}}=\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{1}{\beta e^{\beta x}}}$$

το οποίο ισούται με μηδέν.

Άρα $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=0$ από τον κανόνα DeL’ Hospital, κάτι που σημαίνει ότι αν ο πληθυσμός κάποια χρονιά είναι απεριόριστα μεγάλος, την αμέσως επόμενη χρονιά ο πληθυσμός των ψαριών πρακτικά θα εξαφανιστεί.

γ) Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού, θα έχουμε:

$$F(\beta )-F(2\beta )={\int }_{2\beta }^{\beta }f(x)dx$$ $$=\alpha {\int }_{2\beta }^{\beta }x{e}^{-\beta x}dx$$ $$=\alpha {\int }_{2\beta }^{\beta }x\cdot {(-{\displaystyle \frac{1}{\beta }}{e}^{-\beta x})}^{\prime }dx$$ $$=\alpha \{[-{\displaystyle \frac{x}{\beta }}{e}^{-\beta x}]\begin{array}{c}\beta \\ 2\beta \end{array}-{\int }_{2\beta }^{\beta }{\left(x\right)}^{\prime }\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{\beta }}{e}^{-\beta x})dx\}$$ $$=\alpha \{-{\displaystyle \frac{1}{e^{{\beta }^2}}}+{\displaystyle \frac{2}{e^{2{\beta }^2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}{\int }_{2\beta }^{\beta }{e}^{-\beta x}dx\}$$ $$=\alpha \{{\displaystyle \frac{2-e^{{\beta }^2}}{e^{2{\beta }^2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}[-{\displaystyle \frac{1}{\beta }}{e}^{-\beta x}]\begin{array}{c}\beta \\ 2\beta \end{array}\}$$ $$=\alpha [{\displaystyle \frac{2-e^{{\beta }^2}}{e^{2{\beta }^2}}}-{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}}({\displaystyle \frac{1}{e^{{\beta }^2}}}-{\displaystyle \frac{1}{e^{2{\beta }^2}}})]$$ $$=\alpha ({\displaystyle \frac{2-e^{{\beta }^2}}{e^{2{\beta }^2}}}-{\displaystyle \frac{e^{{\beta }^2}-1}{{\beta }^2{e}^{2{\beta }^2}}})$$ $$=\alpha {\displaystyle \frac{{\beta }^2(2-e^{{\beta }^2})-e^{{\beta }^2}+1}{{\beta }^2{e}^{2{\beta }^2}}}$$ $$={\displaystyle \frac{\alpha }{{\beta }^2}}\cdot {\displaystyle \frac{2{\beta }^2+1-(1+{\beta }^2)e^{{\beta }^2}}{e^{2{\beta }^2}}}$$