ΛΥΣΗ

α) Για κάθε \(x>0\), έχουμε:

$$f'(x)=a[(x)'\cdot e^{-βx}+x(e^{-βx})']$$ $$=a[e^{-βx}+x(-βx)'\cdot e^{-βx}]$$ $$=α\cdot e^{-βx}\cdot (1-βx)$$

Έχουμε:

$$f'(x)≥0$$ $$\Leftrightarrow 1-βx≥0$$ $$\Leftrightarrow x≤\dfrac{1}{β}$$

οπότε παίρνουμε τον παρακάτω πίνακα.

Επομένως όταν ο τρέχων πληθυσμός είναι \(x=\dfrac{1}{β}\), τότε ο πληθυσμός την αμέσως επόμενη χρονιά θα πάρει την μεγαλύτερη δυνατή τιμή, ίση με:

$$f(\dfrac{1}{β})=\dfrac{α}{βe}$$

β) Καθώς θέλουμε να προσεγγίσουμε τον πληθυσμό \(y\) των ψαριών, όταν την αμέσως προηγούμενη χρονιά, ο πληθυσμός είναι απεριόριστα μεγάλος, ζητάμε το:

$$\underset{x\rightarrow +∞}{\lim}{f(x)=}\underset{x\rightarrow +∞}{\lim}α\dfrac{x}{e^{βx}}$$

και παρατηρούμε ότι έχουμε απροσδιοριστία \(\dfrac{+∞}{+∞}\).

Ελέγχουμε αν υπάρχει το:

$$\underset{x\rightarrow +∞}{\lim}\dfrac{(x)'}{(e^{βx})'}=\underset{x\rightarrow +∞}{\lim}\dfrac{1}{βe^{βx}}$$

το οποίο ισούται με μηδέν.

Άρα \(\underset{x\rightarrow +∞}{\lim}{f(x)=}0\) από τον κανόνα DeL’ Hospital, κάτι που σημαίνει ότι αν ο πληθυσμός κάποια χρονιά είναι απεριόριστα μεγάλος, την αμέσως επόμενη χρονιά ο πληθυσμός των ψαριών πρακτικά θα εξαφανιστεί.

γ) Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού, θα έχουμε:

$$F(β)-F(2β)=\operatorname{\Large\int}_{2β}^{β}f(x)dx$$ $$=α\operatorname{\Large\int}_{2β}^{β}xe^{-βx}dx$$ $$=α\operatorname{\Large\int}_{2β}^{β}x\cdot \left(-\dfrac{1}{β}e^{-βx}\right)'dx$$ $$=α\left\{\left[-\dfrac{x}{β}e^{-βx}\right]\array{β \cr 2β}-\operatorname{\Large\int}_{2β}^{β}\left(x\right)'\cdot \left(-\dfrac{1}{β}e^{-βx}\right)dx\right\}$$ $$=α\left\{-\dfrac{1}{e^{β^{2}}}+\dfrac{2}{e^{2β^{2}}}+\dfrac{1}{β}\operatorname{\Large\int}_{2β}^{β}e^{-βx}dx\right\}$$ $$=α\left\{\dfrac{2-e^{β^{2}}}{e^{2β^{2}}}+\dfrac{1}{β}\left[-\dfrac{1}{β}e^{-βx}\right]\array{β \cr 2β}\right\}$$ $$=α\left[\dfrac{2-e^{β^{2}}}{e^{2β^{2}}}-\dfrac{1}{β^{2}}\left(\dfrac{1}{e^{β^{2}}}-\dfrac{1}{e^{2β^{2}}}\right)\right]$$ $$=α\left(\dfrac{2-e^{β^{2}}}{e^{2β^{2}}}-\dfrac{e^{β^{2}}-1}{β^{2}e^{2β^{2}}}\right)$$ $$=α\dfrac{β^{2}(2-e^{β^{2}})-e^{β^{2}}+1}{β^{2}e^{2β^{2}}}$$ $$=\dfrac{α}{β^{2}}\cdot \dfrac{2β^{2}+1-(1+β^{2})e^{β^{2}}}{e^{2β^{2}}}$$