ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ 4ου
α) Για το συνδυασμό ${\rm A}-{\rm B}$ έχουμε:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }=2$$ $$\iff {\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}=2$$ $$\iff {\displaystyle \frac{{\Psi }_{{\rm B}}-0}{52-48}}=2$$ $$\iff {\displaystyle \frac{{\Psi }_{{\rm B}}}{4}}=2$$ $$\Rightarrow {\Psi }_{{\rm B}}=8\text{μονάδες προϊόντος}$$

$${\rm K}{{\rm E}}_{\Psi \to {\rm X}}={\displaystyle \frac{{\Delta }_{{\rm X}}}{{\Delta }_{\Psi }}}$$ $$={\displaystyle \frac{52-48}{8-0}}$$ $$={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ $$=0,5\text{μονάδες αγαθού Χ}$$

Για το συνδυασμό ${\rm B}-\Gamma$ έχουμε:

$${\rm K}{{\rm E}}_{\Psi \to {\rm X}}=1$$ $$\iff {\displaystyle \frac{{\Delta }_{{\rm X}}}{{\Delta }_{\Psi }}}=1$$ $$\iff {\displaystyle \frac{48-{{\rm X}}_{\Gamma }}{18-8}}=1$$ $$\iff {\displaystyle \frac{48-{{\rm X}}_{\Gamma }}{10}}=1$$ $$\iff 48-{{\rm X}}_{\Gamma }=10$$ $$\Rightarrow {{\rm X}}_{\Gamma }=38\text{μονάδες προϊόντος}$$

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }={\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}$$ $$={\displaystyle \frac{18-8}{48-38}}={\displaystyle \frac{10}{10}}$$ $$=1\text{μονάδα αγαθού Ψ}$$

Για το συνδυασμό $\Gamma -\Delta$ έχουμε:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }={\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}$$ $$={\displaystyle \frac{25-18}{38-24}}$$ $$={\displaystyle \frac{7}{14}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ $$=0,5\text{μονάδες αγαθού Ψ}$$

$${\rm K}{{\rm E}}_{\Psi \to {\rm X}}={\displaystyle \frac{{\Delta }_{{\rm X}}}{{\Delta }_{\Psi }}}$$ $$={\displaystyle \frac{38-24}{25-18}}={\displaystyle \frac{14}{7}}$$ $$=2\text{μονάδες αγαθού Χ}$$

Για το συνδυασμό $\Delta -{\rm E}$ έχουμε:
Επειδή όλοι οι παραγωγικοί συντελεστές απασχολούνται στην παραγωγή του αγαθού $\Psi$ στον συνδυασμό ${\rm E}$, τότε η οικονομία παράγει $31$ μονάδες του αγαθού $\Psi$ και $0$ μονάδες του αγαθού ${\rm X}$. Δηλαδή ${{\rm X}}_{{\rm E}}=0$ και ${\Psi }_{{\rm E}}=31$.

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }={\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}$$ $$={\displaystyle \frac{31-25}{24-0}}$$ $$={\displaystyle \frac{6}{24}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ $$=0,25\text{μονάδες αγαθού Ψ}$$

$${\rm K}{{\rm E}}_{\Psi \to {\rm X}}={\displaystyle \frac{{\Delta }_{{\rm X}}}{{\Delta }_{\Psi }}}$$ $$={\displaystyle \frac{24-0}{31-25}}={\displaystyle \frac{24}{6}}$$ $$=4\text{μονάδες αγαθού Χ}$$

Ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων της οικονομίας συμπληρωμένος είναι ο εξής:

(Μονάδες 5)

β) Η παραγωγή των $40$ μονάδων του αγαθού ${\rm X}$ βρίσκεται ανάμεσα στους συνδυασμούς ${\rm B}$ και $\Gamma$, όπου το κόστος ευκαιρίας του αγαθού ${\rm X}$ είναι σταθερό και ίσο με $1$ για όλους τους συνδυασμούς που βρίσκονται μεταξύ των συνδυασμών ${\rm B}$ και $\Gamma$. Κατασκευάζουμε ένα νέο πίνακα, παρεμβάλλοντας τον συνδυασμό ${{\rm B}}^{\prime }$ με την ποσότητα $40$ μονάδων του αγαθού ${\rm X}$ και αναζητούμε τη μέγιστη ποσότητα του αγαθού $\Psi$:

Στη συνέχεια με τη βοήθεια του κόστους ευκαιρίας βρίσκουμε το $\Psi {{\rm B}}^{\prime }$ στον συνδυασμό ${{\rm B}}^{\prime }-\Gamma$:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }=1$$ $$\iff {\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}=1$$ $$\iff {\displaystyle \frac{18-{\Psi }_{{{\rm B}}^{\prime }}}{40-38}}=1$$ $$\iff {\displaystyle \frac{18-{\Psi }_{{{\rm B}}^{\prime }}}{2}}=1$$ $$\iff 18-{\Psi }_{{{\rm B}}^{\prime }}=2$$ $$\Rightarrow {\Psi }_{{{\rm B}}^{\prime }}=16\text{μονάδες προϊόντος}$$

Δηλαδή, με δεδομένη την παραγωγή $40$ μονάδων του αγαθού ${\rm X}$, η μέγιστη ποσότητα του αγαθού $\Psi$ που μπορεί να παράγει η οικονομία είναι $16$ μονάδες.

Αυτό σημαίνει ότι, οι $15$ μονάδες $\Psi$ του ζητούμενου συνδυασμού μπορούν να παραχθούν με βάση τους δεδομένους παραγωγικούς συντελεστές που διαθέτει η συγκεκριμένη οικονομία, αλλά δεν είναι οι μέγιστες.
Συνεπώς, ο ζητούμενος συνδυασμός (${\rm X}=40$, $\Psi =15$) είναι εφικτός, αλλά η οικονομία υποαπασχολεί μέρος των παραγωγικών συντελεστών που διαθέτει. Διαγραμματικά, ο ζητούμενος συνδυασμός βρίσκεται αριστερά της Καμπύλης Παραγωγικών Δυνατοτήτων.

(Μονάδες 5)

γ) Οι πρώτες $20$ μονάδες του αγαθού ${\rm X}$ παράγονται από τις $0$ έως τις $20$ μονάδες.

Η παραγωγή των $20$ μονάδων του αγαθού ${\rm X}$ βρίσκεται ανάμεσα στους συνδυασμούς $\Delta$ και ${\rm E}$, όπου το κόστος ευκαιρίας του αγαθού ${\rm X}$ είναι σταθερό και ίσο με $1/4$ για όλους τους συνδυασμούς που βρίσκονται μεταξύ των συνδυασμών $\Delta$ και ${\rm E}$. Κατασκευάζουμε ένα νέο πίνακα, παρεμβάλλοντας τον συνδυασμό ${\Delta }^{\prime }$ με την ποσότητα $20$ μονάδων του αγαθού ${\rm X}$ και αναζητούμε τη μέγιστη ποσότητα του αγαθού $\Psi$:

Στη συνέχεια με τη βοήθεια του κόστους ευκαιρίας βρίσκουμε το ${\Psi }_{{\rm B}}^{\prime }$ στον συνδυασμό ${{\rm B}}^{\prime }-\Gamma$:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ $$\iff {\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ $$\iff {\displaystyle \frac{31-{\Psi }_{{\Delta }^{\prime }}}{20-0}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ $$\iff {\displaystyle \frac{31-{\Psi }_{{\Delta }^{\prime }}}{20}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ $$\iff 31-{\Psi }_{{\Delta }^{\prime }}={\displaystyle \frac{20}{4}}$$ $$\iff 31-{\Psi }_{{\Delta }^{\prime }}=5$$ $$\Rightarrow {\Psi }_{{\Delta }^{\prime }}=26\text{μονάδες προϊόντος}$$

Δηλαδή, με δεδομένη την παραγωγή $20$ μονάδων του αγαθού ${\rm X}$, η μέγιστη ποσότητα του αγαθού $\Psi$ που μπορεί να παράγει η οικονομία είναι $26$ μονάδες.

Άρα για να παραχθούν οι πρώτες $20$ μονάδες του αγαθού ${\rm X}$, πρέπει να θυσιαστούν $31-26=5$ μονάδες του αγαθού $\Psi$.

(Μονάδες 5)

δ) Οι τελευταίες $20$ μονάδες του αγαθού ${\rm X}$ παράγονται από τις $32$ έως τις $52$ μονάδες.

Η παραγωγή των $32$ μονάδων του αγαθού ${\rm X}$ βρίσκεται ανάμεσα στους συνδυασμούς $\Gamma$ και $\Delta$, όπου το κόστος ευκαιρίας του αγαθού ${\rm X}$ είναι σταθερό και ίσο με $0,5$ για όλους τους συνδυασμούς που βρίσκονται μεταξύ των συνδυασμών $\Gamma$ και $\Delta$. Κατασκευάζουμε ένα νέο πίνακα, παρεμβάλλοντας τον συνδυασμό ${\Gamma }^{\prime }$ με την ποσότητα $32$ μονάδων του αγαθού ${\rm X}$ και αναζητούμε τη μέγιστη ποσότητα του αγαθού $\Psi$:

Στη συνέχεια με τη βοήθεια του κόστους ευκαιρίας βρίσκουμε το ${\Psi }_{\Gamma }^{\prime }$ στον συνδυασμό ${\Gamma }^{\prime }-\Delta$:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }=0,5$$ $$\iff {\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}=0,5$$ $$\iff {\displaystyle \frac{25-{\Psi }_{{\Gamma }^{\prime }}}{32-24}}=0,5$$ $$\iff {\displaystyle \frac{25-{\Psi }_{{\Gamma }^{\prime }}}{8}}=0,5$$ $$\iff 25-{\Psi }_{{\Gamma }^{\prime }}=4$$ $$\Rightarrow {\Psi }_{{\Gamma }^{\prime }}=21\text{μονάδες προϊόντος}$$

Άρα, με δεδομένη την παραγωγή $32$ μονάδων του αγαθού ${\rm X}$, η μέγιστη ποσότητα του αγαθού $\Psi$ που μπορεί να παράγει η οικονομία είναι $21$ μονάδες.

Άρα για να παραχθούν οι τελευταίες $20$ μονάδες του αγαθού ${\rm X}$, πρέπει να θυσιαστούν $21–0=21$ μονάδες του αγαθού $\Psi$.

(Μονάδες 5)

ε) Στον συνδυασμό $\Delta$, η οικονομία το έτος $t$ παράγει $Q_X=24$ μονάδες του αγαθού ${\rm X}$ με τιμή πώλησης $P_{{\rm X}}=15$ ευρώ και $Q_{\Psi }=25$ μονάδες του αγαθού $\Psi$ με τιμή πώλησης $P_{\Psi }=8$ ευρώ.

Τα ονομαστικό Α.Ε.Π. το έτος $t$ είναι:

$${\text{Α.Ε.Π.}}_{\text{ΟΝΟΜΑΣΤΙΚΟ}(t)}=[P_{{\rm X}(t)}\cdot Q_{{\rm X}(t)}]+[P_{\Psi (t)}\cdot Q_{\Psi (t)}]$$ $$=(15\cdot 24)+(8\cdot 25)$$ $$=360+200=560\text{ευρώ}$$

(Μονάδες 5)