α) Στην πρώτη περίπτωση το πλήθος των μαθητών είναι \(x(x - 1)\) ενώ στη δεύτερη \((x + 3)(x - 3) - 1\). Άρα πρέπει:

$$\begin{align}&x(x - 1) = (x + 3)(x - 3) - 1 \\ \iff&x^2 - x = x^2 - 3^2 - 1 \\ \iff&- x = - 9 - 1 \\ \iff&x = 10\end{align}$$

β) Αντικαθιστούμε στον τύπο \(x(x - 1)\) που δίνει το πλήθος των μαθητών όπου x = 10 και βρίσκουμε:

$$10(10 - 1) = 10 \cdot 9 = 90$$

Άρα, οι μαθητές της Α τάξης είναι 90.

γ) Το πλήθος των μαθητών στις \(ν\) ομάδες εργασίας είναι όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \(α_1 = 2\), διαφορά \(ω = 2\) και άθροισμα \(S_ν = 90\). Οπότε, από τον τύπο:

$$S_ν =\dfrac{ν}{2}[2α_1 + (ν - 1)ω]$$

έχουμε ότι:

$$\begin{align}&90 = \dfrac{ν}{2}[2 \cdot 2 + (ν - 1)2] \\ \iff&90 = \dfrac{ν}{2}(4 + 2ν - 2) \\ \iff&90 = 2ν + ν^2 - ν \\ \iff&ν^2 + ν - 90 = 0\end{align}$$

Η τελευταία εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς \(ν\) με \(α=1\), \(β=1\), και \(γ=-90\). Η διακρίνουσα είναι:

$$\begin{align}Δ &= β^2 - 4αγ \\ &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (- 90) \\ &= 1 + 360 \\ &= 361 > 0\end{align}$$

και έχει ρίζες τις:

$$\begin{align}ν_{1,2} &= \dfrac{-β\pm\sqrt{Δ}}{2α}\\ &=\dfrac{-1\pm\sqrt{361}}{2\cdot1}\\ &=\dfrac{-1\pm19}{2}\\ &=\begin{cases}\dfrac{-1+19}{2}=9\\ \dfrac{-1-19}{2}=-10\end{cases}\end{align}$$

Η τιμή \(ν = - 10\) απορρίπτεται διότι \(ν\in\mathbb{N}\). Άρα θα δημιουργηθούν \(ν = 9\) ομάδες εργασίας.