ΛΥΣΗ

α) Έχουμε

$$x^2+1\ge {\displaystyle \frac{5}{2}}x$$ $$\iff 2x^2-5x+2\ge 0$$

Tο τριώνυμο $2x^2-5x+2$ έχει διακρίνουσα

$$\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=9>0$$

και ρίζες

$$x_1={\displaystyle \frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2\cdot 2}}$$ $$={\displaystyle \frac{5-3}{4}}={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

$$x_2={\displaystyle \frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2\cdot 2}}$$ $$={\displaystyle \frac{5+3}{4}}={\displaystyle \frac{8}{4}}=2$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα

Άρα η ανίσωση $(1)$ αληθεύει για $x\in (-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{1}{2}}]\cup [2,+\mathrm{\infty })$.

β) Επειδή $(\lambda -1)(\kappa -1)<0$, οι αριθμοί $\lambda -1$ και $\kappa -1$ είναι ετερόσημοι.

1. Αν

$$\{\begin{array}{l}\lambda -1>0\\ \text{και}\\ \kappa -1<0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}\lambda >1\\ \text{και}\\ \kappa <1\end{array}$$

τότε

$$\kappa <1<\lambda$$

Αν

$$\{\begin{array}{l}\lambda -1<0\\ \text{και}\\ \kappa -1>0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}\lambda <1\\ \text{και}\\ \kappa >1\end{array}$$

τότε

$$\lambda <1<\kappa$$

Σε κάθε περίπτωση, το $1$ είναι μεταξύ των αριθμών $\kappa$, $\lambda$.

2. Οι αριθμοί $\kappa$, $\lambda$ είναι λύσεις της ανίσωσης $(1)$ και το $1$ είναι μεταξύ τους.
   Άρα

$$\{\begin{array}{l}\kappa \le {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{και}\\ \lambda \ge 2\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}\kappa \le {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{και}\\ -\lambda \le -2\end{array}$$

οπότε

$$\kappa -\lambda \le {\displaystyle \frac{1}{2}}-2$$ $$\iff \kappa -\lambda \le -{\displaystyle \frac{3}{2}}$$

ή

$$\{\begin{array}{l}\lambda \le {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{και}\\ \kappa \ge 2\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}-\lambda \ge -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{και}\\ \kappa \ge 2\end{array}$$

οπότε

$$\kappa -\lambda \ge 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ $$\iff \kappa -\lambda \ge {\displaystyle \frac{3}{2}}$$

Τελικά

$$|\kappa -\lambda |\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}$$