ΛΥΣΗ

α) Έχουμε

$$x^{2}+1\ge \dfrac{5}{2}x $$ $$\Leftrightarrow 2x^{2}-5x+2\ge 0$$

Tο τριώνυμο \(2x^{2}-5x+2\) έχει διακρίνουσα

$$Δ=(-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 2=9>0$$

και ρίζες

$$x_{1}=\dfrac{-(-5)-\sqrt{9}}{2\cdot 2}$$ $$=\dfrac{5-3}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$$

$$x_{2}=\dfrac{-(-5)+\sqrt{9}}{2\cdot 2}$$ $$=\dfrac{5+3}{4}=\dfrac{8}{4}=2$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα

Άρα η ανίσωση \((1)\) αληθεύει για \(x\in \left( -\infty ,\dfrac{1}{2} \right] \cup [2,+\infty )\).

β) Επειδή \((λ-1)(κ-1)<0\), οι αριθμοί \(λ-1\) και \(κ-1\) είναι ετερόσημοι.

1. Αν

$$\begin{cases} λ-1>0 \\ \text{και} \\ κ-1<0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} λ>1 \\ \text{και} \\ κ<1 \end{cases}$$

τότε

$$κ<1<λ$$

Αν

$$\begin{cases} λ-1<0 \\ \text{και} \\ κ-1>0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} λ<1 \\ \text{και} \\ κ>1 \end{cases}$$

τότε

$$λ<1<κ$$

Σε κάθε περίπτωση, το \(1\) είναι μεταξύ των αριθμών \(κ\), \(λ\).

2. Οι αριθμοί \(κ\), \(λ\) είναι λύσεις της ανίσωσης \((1)\) και το \(1\) είναι μεταξύ τους.
   Άρα

$$\begin{cases} κ\le \dfrac{1}{2} \\ \text{και} \\ λ\ge 2 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} κ\le \dfrac{1}{2} \\ \text{και} \\ -λ\le -2 \end{cases}$$

οπότε

$$κ-λ\le \dfrac{1}{2}-2 $$ $$\Leftrightarrow κ-λ\le -\dfrac{3}{2}$$

ή

$$\begin{cases} λ\le \dfrac{1}{2} \\ \text{και} \\ κ\ge 2 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} -λ\ge -\dfrac{1}{2} \\ \text{και} \\ κ\ge 2 \end{cases}$$

οπότε

$$κ-λ\ge 2-\dfrac{1}{2} $$ $$\Leftrightarrow κ-λ\ge \dfrac{3}{2}$$

Τελικά

$$|κ-λ|\ge \dfrac{3}{2}$$