ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-5x-6\) έχει διακρίνουσα \(Δ=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)=49>0\). Το άθροισμα των ριζών του είναι \(S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{-5}{1}=5\) και το γινόμενό τους είναι \(P=x_{1}x_{2}=\dfrac{-6}{1}=-6\), οπότε οι ρίζες είναι \(x_{1}=-1\) και \(x_{2}=6\).

O πίνακας προσήμου του τριωνύμου είναι:

Άρα η ανίσωση \(x^{2}-5x-6<0\) αληθεύει για \(x\in (-1,6)\).

β) Έχουμε \(-1<-\dfrac{46}{47}<6\).

Ο αριθμός \(Κ\) γράφεται:
\(Κ=\left(-\dfrac{46}{47}\right)^{2}+5\cdot \dfrac{46}{47}-6=\left(-\dfrac{46}{47}\right)^{2}-5\cdot \left(-\dfrac{46}{47}\right)-6\), οπότε είναι η τιμή του τριωνύμου \(x^{2}-5x-6\) για \(x=-\dfrac{46}{47}\).

Συνεπώς από τον πίνακα του ερωτήματος α) προκύπτει ότι ο αριθμός \(Κ\) είναι αρνητικός.

γ) Αν \(α\in (-6,6)\), έχουμε \(-6<α<6 \Leftrightarrow |α|<6 \Leftrightarrow 0\le |α|<6\).

Η παράσταση \(Λ=α^{2}-5|α|-6\) γράφεται \(Λ=|α|^{2}-5|α|-6\), που είναι η τιμή του τριωνύμου \(x^{2}-5x-6\) για \(x=|α|\).

Συνεπώς από τον πίνακα του ερωτήματος α) προκύπτει ότι \(Λ<0\).