ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^2-5x-6$ έχει διακρίνουσα $\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)=49>0$. Το άθροισμα των ριζών του είναι $S=x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{-5}{1}}=5$ και το γινόμενό τους είναι $P=x_1{x}_2={\displaystyle \frac{-6}{1}}=-6$, οπότε οι ρίζες είναι $x_1=-1$ και $x_2=6$.

O πίνακας προσήμου του τριωνύμου είναι:

Άρα η ανίσωση $x^2-5x-6<0$ αληθεύει για $x\in (-1,6)$.

β) Έχουμε $-1<-{\displaystyle \frac{46}{47}}<6$.

Ο αριθμός ${\rm K}$ γράφεται:
${\rm K}={(-{\displaystyle \frac{46}{47}})}^2+5\cdot {\displaystyle \frac{46}{47}}-6={(-{\displaystyle \frac{46}{47}})}^2-5\cdot (-{\displaystyle \frac{46}{47}})-6$, οπότε είναι η τιμή του τριωνύμου $x^2-5x-6$ για $x=-{\displaystyle \frac{46}{47}}$.

Συνεπώς από τον πίνακα του ερωτήματος α) προκύπτει ότι ο αριθμός ${\rm K}$ είναι αρνητικός.

γ) Αν $\alpha \in (-6,6)$, έχουμε $-6<\alpha <6\iff |\alpha |<6\iff 0\le |\alpha |<6$.

Η παράσταση $\Lambda ={\alpha }^2-5|\alpha |-6$ γράφεται $\Lambda =|\alpha {|}^2-5|\alpha |-6$, που είναι η τιμή του τριωνύμου $x^2-5x-6$ για $x=|\alpha |$.

Συνεπώς από τον πίνακα του ερωτήματος α) προκύπτει ότι $\Lambda <0$.