ΛΥΣΗ

α) Για \(α=1\) ο τύπος της συνάρτησης \(g\) γίνεται: \(g(x)=x+1, x\in \mathbb{R}\).

Οι συναρτήσεις \(f\) και \(g\) έχουν πεδίο ορισμού το \(\mathbb{R}\). Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών τους παραστάσεων είναι οι λύσεις της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+1=x+1 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-x=0 $$ $$\Leftrightarrow x(x-1)=0 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ x-1=0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=1 \end{cases}$$

Επίσης:

$$g(0)=0+1=1$$

και

$$g(1)=1+1=2$$

Άρα τα σημεία τομής είναι τα \(Α(0,g(0))\) και \(Β(1,g(1))\) δηλαδή τα \(Α(0,1)\) και \(Β(1,2)\).

β) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) τέμνονται σε δύο σημεία αν και μόνο αν η εξίσωση:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+1=x+α$$

έχει δύο άνισες λύσεις (που θα είναι οι τετμημένες \(x_{1},x_{2}\) των σημείων αυτών).
Δηλαδή αν και μόνο αν η εξίσωση:

$$x^{2}-x+1-α=0\ \ \ \ (1)$$

έχει δύο άνισες ρίζες.

Η διακρίνουσα του τριωνύμου \(x^{2}-x+1-α\) είναι:

$$Δ=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (1-α)=$$ $$=1-4+4α=4α-3$$

Η εξίσωση \((1)\) έχει δύο άνισες ρίζες αν και μόνο αν:

$$Δ>0 $$ $$\Leftrightarrow 4α-3>0 $$ $$\Leftrightarrow 4α>3 $$ $$\Leftrightarrow α>\dfrac{3}{4}$$

γ) Επειδή \(α>1>\dfrac{3}{4}\), η εξίσωση \((1)\) έχει δύο ρίζες άνισες, τις \(x_{1},x_{2}\). Το γινόμενό τους είναι:

$$P=x_{1}x_{2}$$ $$=\dfrac{γ}{α}=1-α$$

Αλλά, \(α>1 \Rightarrow 1-α<0\), δηλαδή \(P<0\). Οπότε οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) είναι ετερόσημες.