ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^2-x-6$ έχει $\alpha =1$, $\beta =-1$, $\gamma =-6$ και διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)$$ $$=1+24=25>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}}$$ $$={\displaystyle \frac{1\pm 5}{2}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1+5}{2}}=3\\ {\displaystyle \frac{1-5}{2}}=-2\end{array}$$

Πρέπει:

$$x^2-x-6\ne 0$$ $$\iff (x\ne -2\text{και}x\ne 3)$$

Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το ${\rm A}=\mathbb{R}-\{-2,3\}$.

β) Είναι:

$$f(2)={\displaystyle \frac{2+2}{2^2-2-6}}$$ $$={\displaystyle \frac{4}{4-2-6}}$$ $$={\displaystyle \frac{4}{-4}}=-1$$

και:

$$f(4)={\displaystyle \frac{4+2}{4^2-4-6}}$$ $$={\displaystyle \frac{6}{16-4-6}}$$ $$={\displaystyle \frac{6}{6}}=1$$

Άρα:

$$f(2)+f(4)=-1+1=0$$