ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-x-6\) έχει \(α=1\), \(β=-1\), \(γ=-6\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)$$ $$=1+24=25>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{1\pm 5}{2}$$ $$=\cases{\dfrac{1+5}{2} =3 \\ \dfrac{1-5}{2} = - 2}$$

Πρέπει:

$$x^{2}-x-6\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow (x\ne -2\ \ \text{και}\ \ x\ne 3)$$

Άρα το πεδίο ορισμού της \(f\) είναι το \(Α=\mathbb{R}-\{-2,3\}\).

β) Είναι:

$$f(2)=\dfrac{2+2}{2^{2}-2-6}$$ $$=\dfrac{4}{4-2-6}$$ $$=\dfrac{4}{-4}=-1$$

και:

$$f(4)=\dfrac{4+2}{4^{2}-4-6}$$ $$=\dfrac{6}{16-4-6}$$ $$=\dfrac{6}{6}=1$$

Άρα:

$$f(2)+f(4)=-1+1=0$$