ΛΥΣΗ

α) Ο αθλητής όταν κολυμπάει ύπτιο, καίει \(9\) θερμίδες το λεπτό. Άρα σε \(32\) λεπτά θα έχει κάψει \(9\cdot 32=288\) θερμίδες.

Ο αθλητής όταν κολυμπάει πεταλούδα, καίει \(12\) θερμίδες το λεπτό. Αν υποθέσουμε ότι κολυμπάει με αυτό το στυλ \(x\) λεπτά, τότε θα κάψει \(12\cdot x\) θερμίδες. Επειδή ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει \(360\) θερμίδες, ισχύει:

$$288+12x=360 $$ $$\Leftrightarrow 12x=72 $$ $$\Leftrightarrow x=6$$

Άρα ο αθλητής πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα \(6\) λεπτά.

β)

1. Έστω \(x\) ο χρόνος σε λεπτά που ο αθλητής κολυμπάει ύπτιο και \(y\) ο χρόνος σε λεπτά που ο αθλητής κολυμπάει πεταλούδα. Τότε, για να κάψει \(360\) θερμίδες κολυμπώντας και με τα δυο στυλ, πρέπει να ισχύει:

   $$9x+12y=360 $$ $$\Leftrightarrow 12y=360-9x $$ $$\Leftrightarrow y=30-\dfrac{3}{4}x$$

   Άρα \(f(x)=30-\dfrac{3}{4}x\).

2. Επειδή οι \(x\), \(f(x)\) είναι μεταβλητές χρόνου, πρέπει: \(x\ge 0\) και \(f(x)\ge 0\). Έτσι, έχουμε:

   $$f(x)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 30-\dfrac{3}{4}x\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}x\le 30 $$ $$\Leftrightarrow 3x\le 120 $$ $$\Leftrightarrow x\le 40$$

   οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: \(A_{f}=[0,40]\).

γ) Η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο της με τεταγμένη \(y=0\), δηλαδή \(f(x)=0\). Είναι:

$$f(x)=0 $$ $$\Leftrightarrow 30-\dfrac{3}{4}x=0 $$ $$\Leftrightarrow 3x=120 $$ $$\Leftrightarrow x=40$$

Επομένως η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(A(40,0)\). Επιπλέον:

$$f(0)=30-\dfrac{3}{4}\cdot 0=30$$

οπότε η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(B(0,30)\).

Η γραφική παράσταση της \(f\) είναι το ευθύγραμμο τμήμα \(ΑΒ\) (τμήμα της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \(Α\), \(Β\)). Επομένως είναι:

Το σημείο \(Α\) δείχνει ότι όταν ο αθλητής δεν κολυμπάει πεταλούδα χρειάζεται \(40\) λεπτά ύπτιο για να κάψει \(360\) θερμίδες ενώ το σημείο \(Β\) δείχνει ότι όταν ο αθλητής δεν κολυμπάει ύπτιο χρειάζεται \(30\) λεπτά πεταλούδα για να κάψει \(360\) θερμίδες.