ΛΥΣΗ

α) Ο αθλητής όταν κολυμπάει ύπτιο, καίει $9$ θερμίδες το λεπτό. Άρα σε $32$ λεπτά θα έχει κάψει $9\cdot 32=288$ θερμίδες.

Ο αθλητής όταν κολυμπάει πεταλούδα, καίει $12$ θερμίδες το λεπτό. Αν υποθέσουμε ότι κολυμπάει με αυτό το στυλ $x$ λεπτά, τότε θα κάψει $12\cdot x$ θερμίδες. Επειδή ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει $360$ θερμίδες, ισχύει:

$$288+12x=360$$ $$\iff 12x=72$$ $$\iff x=6$$

Άρα ο αθλητής πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα $6$ λεπτά.

β)

1. Έστω $x$ ο χρόνος σε λεπτά που ο αθλητής κολυμπάει ύπτιο και $y$ ο χρόνος σε λεπτά που ο αθλητής κολυμπάει πεταλούδα. Τότε, για να κάψει $360$ θερμίδες κολυμπώντας και με τα δυο στυλ, πρέπει να ισχύει:

   $$9x+12y=360$$ $$\iff 12y=360-9x$$ $$\iff y=30-{\displaystyle \frac{3}{4}}x$$

   Άρα $f(x)=30-{\displaystyle \frac{3}{4}}x$.

2. Επειδή οι $x$, $f(x)$ είναι μεταβλητές χρόνου, πρέπει: $x\ge 0$ και $f(x)\ge 0$. Έτσι, έχουμε:

   $$f(x)\ge 0$$ $$\iff 30-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\ge 0$$ $$\iff {\displaystyle \frac{3}{4}}x\le 30$$ $$\iff 3x\le 120$$ $$\iff x\le 40$$

   οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: $A_f=[0,40]$.

γ) Η $C_f$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime }x$ στο σημείο της με τεταγμένη $y=0$, δηλαδή $f(x)=0$. Είναι:

$$f(x)=0$$ $$\iff 30-{\displaystyle \frac{3}{4}}x=0$$ $$\iff 3x=120$$ $$\iff x=40$$

Επομένως η $C_f$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime }x$ στο σημείο $A(40,0)$. Επιπλέον:

$$f(0)=30-{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 0=30$$

οπότε η $C_f$ τέμνει τον άξονα $y^{\prime }y$ στο σημείο $B(0,30)$.

Η γραφική παράσταση της $f$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm A}{\rm B}$ (τμήμα της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία ${\rm A}$, ${\rm B}$). Επομένως είναι:

Το σημείο ${\rm A}$ δείχνει ότι όταν ο αθλητής δεν κολυμπάει πεταλούδα χρειάζεται $40$ λεπτά ύπτιο για να κάψει $360$ θερμίδες ενώ το σημείο ${\rm B}$ δείχνει ότι όταν ο αθλητής δεν κολυμπάει ύπτιο χρειάζεται $30$ λεπτά πεταλούδα για να κάψει $360$ θερμίδες.