Λύση

α) Είναι:

$${\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2=-30$$ $$\iff \alpha \beta (\alpha +\beta )=-30$$ $$\iff \alpha \beta \cdot 2=-30$$ $$\iff \alpha \beta =-15$$

β) Η ζητούμενη εξίσωση μπορεί να είναι της μορφής:

$$x^2-Sx+P=0$$

με:

$$S=\alpha +\beta =2\text{και}P=\alpha \beta =-15$$

Τελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$x^2-2x-15=0$$

Το τριώνυμο $x^2-2x-15$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)$$ $$=4+60=64>0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2a}}$$ $$={\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{64}}{2\cdot 1}}$$ $$={\displaystyle \frac{2\pm 8}{2}}=5\text{ή}-3$$

Άρα είναι $\alpha =5$ και $\beta =-3$ ή $\alpha =-3$ και $\beta =5$.