α) Πρέπει: $x-4\ne 0\iff x\ne 4$.

Ο τύπος της συνάρτησης $f$ μετά τις σχετικές παραγοντοποιήσεις και απλοποιήσεις γίνεται:

$$\begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \frac{x^3-16x}{x-4}}\\ & ={\displaystyle \frac{x(x^2-16)}{x-4}}\\ & ={\displaystyle \frac{x(x-4)(x+4)}{x-4}}\\ & =x(x+4)\\ & =x^2+4x\end{array}$$

β) Είναι:

$$f(x)=32$$ $$\iff x^2+4x=32$$ $$\iff x^2+4x-32=0$$

Το τριώνυμο $x^2+4x-32$ έχει $\alpha =1$, $\beta =4$, $\gamma =-32$ και διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma =4^2-4\cdot 1\cdot (-32)=16+128=144>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$\begin{array}{rl}{x}_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2a}}\\ & ={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{144}}{2\cdot 1}}\\ & ={\displaystyle \frac{-4\pm 12}{2}}\\ & =\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{-4+12}{2}}=4\\ {\displaystyle \frac{-4-12}{2}}=-8\end{array}\end{array}$$

Επειδή η $f$ ορίζεται στο ${\rm A}=\mathbb{R}-\{4\}$, δεκτή είναι μόνο η τιμή $x=-8$.