ΛΥΣΗ

α) Από το γράφημα συμπεραίνουμε ότι το κοινό σημείο των δύο ευθειών είναι κατ’ εκτίμηση το ${\rm A}(100,500)$.

Η ερμηνεία του είναι η εξής:

Αν η εταιρεία πουλήσει $100$ λίτρα λάδι, τα έσοδα και τα έξοδα είναι $500$ ευρώ, δηλαδή δεν έχει ούτε κέρδος ούτε ζημιά.

β) Τα πάγια έξοδα της εταιρείας είναι $200$ ευρώ, διότι $K(0)=200$. Δηλαδή ακόμα και αν δεν παραχθεί λάδι $(x=0)$, υπάρχουν έξοδα.

γ) Για να μην έχει η εταιρεία ζημιά πρέπει τα έσοδα να είναι ίσα με τα έξοδα ή μεγαλύτερα από αυτά. Από το γράφημα συμπεραίνουμε ότι αυτό συμβαίνει για παραγωγή $x\ge 100$ λίτρων λαδιού.

δ) Έστω $y=ax$ η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας $(\epsilon )$ που περιγράφει η συνάρτηση εσόδων $E(x)$ Η ευθεία αυτή διέρχεται από το σημείο ${\rm A}(100,500)$, οπότε:

$$1000=200\alpha$$ $$\iff \alpha =5$$

Τελικά η ευθεία $(\epsilon )$ έχει εξίσωση;

$$y=5x$$

Επομένως η συνάρτηση των εσόδων είναι $E(x)=5x$, $x\ge 0$.

Έστω $y={\alpha }_{1}x+{\beta }_1$ η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας $({\epsilon }_1)$ που περιγράφει η συνάρτηση εξόδων ${\rm K}(x)$. Η ευθεία $({\epsilon }_1)$ διέρχεται από τα σημεία ${\rm B}(0,200)$ και $\Gamma (200,800)$, οπότε έχει συντελεστή διεύθυνσης τον:

$${\alpha }_1={\displaystyle \frac{800-200}{200-0}}={\displaystyle \frac{600}{200}}=3$$

Τότε η ευθεία $({\epsilon }_1)$ γράφεται:

$$y=3x+{\beta }_1$$

Επειδή η ευθεία $({\epsilon }_1)$ διέρχεται από το σημείο ${\rm B}(0,200)$, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της. Οπότε:

$$200=0+{\beta }_1$$ $$\iff {\beta }_1=200$$

Τελικά η εξίσωση $({\epsilon }_1)$ έχει εξίσωση $y=3x+200$ και η συνάρτηση των εξόδων είναι:

$$K(x)=3x+200,x\ge 0$$

Για να μην έχει ζημιά η εταιρεία πρέπει:

$$E(x)\ge K(x)$$ $$\iff 5x\ge 3x+200$$ $$\iff 2x\ge 200$$ $$\iff x\ge 100$$

Επομένως η εκτίμηση που κάναμε στο ερώτημα γ) ήταν σωστή.