ΛΥΣΗ

Η επιφάνεια σε τετραγωνικά μίλια που καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος κάθε ημέρας, είναι όροι γεωμετρικής προόδου με \(α_{1}=3\) και \(λ=2\). Στο τέλος της ν-οστής ημέρας θα έχει καλυφθεί επιφάνεια \(α_{ν}=α_{1}\cdot λ^{1}\) τετραγωνικά μίλια (τ.μ.).

α) Στο τέλος της \(6^\text{ης}\) ημέρας θα έχει καλυφθεί επιφάνεια:

$$α_{5}=3\cdot 2^{5-1}$$ $$=3\cdot 2^{4}$$ $$=3\cdot 16=48\ \text{τ.μ.}$$

β) Δεδομένο είναι το \(α_{ν}=768\) και ζητούμενο είναι το \(ν\). Έχουμε ισοδύναμα:

$$α_{ν}=768$$ $$\Rightarrow 3\cdot 2^{ν-1}=768$$ $$\Rightarrow 2^{ν-1}=256$$ $$\Rightarrow 2^{ν-1}=2^{8}$$ $$\Rightarrow ν-1=8$$ $$\Rightarrow ν=9$$

Οπότε στο τέλος της \(9^\text{ης}\) ημέρας θα έχει καλυφθεί από πετρέλαιο θαλάσσια επιφάνεια \(768\) τ.μ.

γ) Στο τέλος της \(10^\text{ης}\) ημέρας η επιφάνεια της θάλασσας που έχει καλυφθεί από πετρέλαιο είναι \(768-6=762\) τ.μ. και κάθε επόμενη ημέρα θα μειώνεται κατά \(6\) τ.μ. Άρα η επιφάνεια σε τετραγωνικά μίλια που θα καλύπτει εφεξής το πετρέλαιο στο τέλος κάθε ημέρας, είναι όροι αριθμητικής προόδου \((β_{ν})\) με \(β_{1}=762\) και \(ω=-6\).

Δεδομένο είναι ότι \(β_{ν}=12\) και ζητούμενο είναι το \(ν\). Έχουμε ισοδύναμα:

$$β_{ν}=762$$ $$\Rightarrow 762+(ν-1)\cdot (-6)=12$$ $$\Rightarrow 6ν=756$$ $$\Rightarrow ν=126$$

Συνεπώς στο τέλος της \(126^\text{ης}\) ημέρας μετά από την κρατική παρέμβαση και συνολικά στο τέλος της \(9+126=135^\text{ης}\) ημέρας μετά από τη στιγμή του ατυχήματος η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα \(12\) τ.μ.