ΛΥΣΗ

α) Αφού η ευθεία $y=\alpha x+\beta$ σχηματίζει με τον άξονα $x^{\prime }x$ γωνία ${45}^0$, η κλήση της ευθείας θα είναι $\alpha =\epsilon \phi {45}^0=1$. Άρα η ευθεία παίρνει τη μορφή $y=x+\beta$.

Αφού η ευθεία διέρχεται από το σημείο ${\rm A}(0,3)$ θα ισχύει

$$3=0+\beta ⟺\beta =3$$

Άρα η ευθεία είναι η $y=x+3$.

β) Αφού οι ευθείες $y=x+3$ και $y=\lambda x+\kappa$ είναι παράλληλες, θα έχουν την ίδια κλίση, άρα $\lambda =1$. Οπότε η ευθεία παίρνει τη μορφή $y=x+\kappa$.

Αφού η ευθεία διέρχεται από το σημείο ${\rm B}(2,0)$ θα ισχύει

$$0=2+\kappa ⟺\kappa =-2$$

Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι η $y=x-2$.