α) Είναι:

\begin{align}α+β&=\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})+\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})\\ &=\frac{1}{2}(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5})\\ &=\frac{6}{2}\\ &=3\end{align}

και

\begin{align}α\cdot β&=\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})\\ &=\frac{1}{4}(3^2-\sqrt{5}^2)\\ &=\frac{1}{4}(9-5)\\ &=\frac{4}{4}\\ &=1.\end{align}

Άρα, \(α+β=3\) και \(α\cdot β=1\).

β) Έχουμε:

\begin{align}α^2+β^2&=\frac{1}{4}(3+\sqrt{5})^2+\frac{1}{4}(3-\sqrt{5})^2\\ &=\frac{1}{4}(9+5+6\sqrt{5}+9+5-6\sqrt{5})\\ &=\frac{1}{4}\cdot 28\\ &=7\end{align}

που είναι το ζητούμενο.

Υπόδειξη για εναλλακτική λύση.
Το ερώτημα (β) μπορεί να αποδειχθεί άμεσα από το (α) με τη βοήθεια της ταυτότητας

$$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ.$$