Λύση

α) Έχουμε:

$$Δ=(-α)^{2}-4[-(α+1)]$$ $$=α^{2}+4α+4$$ $$=(α+2)^{2}$$

• Αν \(α=-2\) τότε \(Δ=0\) άρα το τριώνυμο έχει μοναδική ρίζα.
• Αν \(α\ne -2\) τότε \(Δ>0\) άρα έχει δυο ρίζες άνισες.

β)
(i) Αφού \(α>-2\) τότε το \(f\) (x) έχει δυο ρίζες άνισες, τις \(x=\dfrac{-(-α)\pm \sqrt{(α+2)^{2}}}{2}\) άρα \(x=\dfrac{α\pm (α+2)}{2}\), οπότε η μία ρίζα είναι \(x=\dfrac{2α+2}{2}=\dfrac{2(α+1)}{2}=α+1\) και η άλλη \(x=\dfrac{α-α-2}{2}=-1\).

(ii) Έχει ρίζες τις \(-1\), \(α+1\) με \(α>- 2 \Leftrightarrow α+1>-1\) και το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Άρα \(f(x)\le 0\) για κάθε \(x\in [-1,α+1]\).

Οπότε πρέπει \((α+1) - (-1)=α+2=2024 \Leftrightarrow α=2022\).

(iii) Παρατηρούμε ότι \(-1 <\dfrac{α}{2}<α+1\) διότι: \(-1<\dfrac{α}{2} \Leftrightarrow α>-2\) ισχύει και: \(\dfrac{α}{2}<α+1 \Leftrightarrow α<2α+2 \Leftrightarrow α>-2\), ισχύει.

Τότε σύμφωνα με το ερώτημα (ii) θα είναι \(f(\dfrac{a}{2})<0\).