ΛΥΣΗ

α)
i. Έχουμε:

$$Α+Β=α^{2}+α+\dfrac{1}{4}+(β-3)^{2}=(α+\dfrac{1}{2})^{2}+(β-3)^{2}\ge 0$$

ii. Έχουμε:

$$Α+Β=0$$ $$\Leftrightarrow (α+\dfrac{1}{2})^{2}+(β-3)^{2}=0$$

που ισχύει αν και μόνο αν

$$α+\dfrac{1}{2}=0 \text{ και } β-3=0$$

οπότε \(α=-\frac{1}{2}\) και \(β=3\).

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$$Α=-Β$$ $$\Leftrightarrow Α+Β=0\overset{αii)}{\Leftrightarrow}α=-\dfrac{1}{2},β=3$$