ΛΥΣΗ

α) \(1 \rightarrow ii\), \(2 \rightarrow iii\), \(3 \rightarrow iv\).
Δηλαδή \(ΚΛ=2R\) γιατί οι κύκλοι κέντρων \(K\) και \(Λ\) εφάπτονται εξωτερικά, οπότε η διάκεντρός τους ισούται με το άθροισμα των ακτινών τους. Ομοίως \(ΛΜ=R+ρ\) γιατί οι κύκλοι κέντρων \(Λ\) και \(M\) εφάπτονται εξωτερικά. Τέλος \(ΟΜ=2R-ρ\) γιατί o κύκλος κέντρου \(Ο\) με τον κύκλο κέντρου \(M\) εφάπτονται εσωτερικά, οπότε η διάκεντρός τους θα ισούται με τη διαφορά των ακτινών τους.

β)

1. Οι κύκλοι \((K,R)\) και \((Μ,ρ)\) εφάπτονται εξωτερικά, οπότε η διάκεντρός τους θα ισούται με το άθροισμα των ακτινών τους, δηλαδή \(KM =R+ρ = ΛΜ\) από το ερώτημα α). Άρα το τρίγωνο \(ΜΚΛ\) έχει δύο πλευρές ίσες, οπότε είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά \(ΚΛ\). Το σημείο \(Ο\) είναι το μέσο του τμήματος \(ΚΛ\) γιατί \(ΟΚ=ΟΛ=R\) επομένως το τμήμα \(ΜΟ\) είναι διάμεσος της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου, άρα είναι και ύψος, δηλαδή \(ΟΜ \perp ΚΛ\).
2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΟΜΛ\) με \(\hat{O} = 90^0\) εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:
   \({ΟΜ}^2+{ΟΛ}^2={ΛΜ}^2\)
   \({(2R-ρ)}^2+R^2={(R+ρ)}^2\)
   \(4R^2-4Rρ+ρ^2+R^2=R^2+2Rρ+ρ^2\)
   \(4R^2=6Rρ\)
   \(2R=3ρ\)
   \(ρ=\dfrac{2R}{3}\).