ΛΥΣΗ

α) $1\to ii$, $2\to iii$, $3\to iv$.
Δηλαδή ${\rm K}\Lambda =2R$ γιατί οι κύκλοι κέντρων $K$ και $\Lambda$ εφάπτονται εξωτερικά, οπότε η διάκεντρός τους ισούται με το άθροισμα των ακτινών τους. Ομοίως $\Lambda {\rm M}=R+\rho$ γιατί οι κύκλοι κέντρων $\Lambda$ και $M$ εφάπτονται εξωτερικά. Τέλος ${\rm O}{\rm M}=2R-\rho$ γιατί o κύκλος κέντρου ${\rm O}$ με τον κύκλο κέντρου $M$ εφάπτονται εσωτερικά, οπότε η διάκεντρός τους θα ισούται με τη διαφορά των ακτινών τους.

β)

1. Οι κύκλοι $(K,R)$ και $({\rm M},\rho )$ εφάπτονται εξωτερικά, οπότε η διάκεντρός τους θα ισούται με το άθροισμα των ακτινών τους, δηλαδή $KM=R+\rho =\Lambda {\rm M}$ από το ερώτημα α). Άρα το τρίγωνο ${\rm M}{\rm K}\Lambda$ έχει δύο πλευρές ίσες, οπότε είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ${\rm K}\Lambda$. Το σημείο ${\rm O}$ είναι το μέσο του τμήματος ${\rm K}\Lambda$ γιατί ${\rm O}{\rm K}={\rm O}\Lambda =R$ επομένως το τμήμα ${\rm M}{\rm O}$ είναι διάμεσος της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου, άρα είναι και ύψος, δηλαδή ${\rm O}{\rm M}\perp {\rm K}\Lambda$.
2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm O}{\rm M}\Lambda$ με $\hat{O}={90}^0$ εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:
   ${{\rm O}{\rm M}}^2+{{\rm O}\Lambda }^2={\Lambda {\rm M}}^2$
   ${(2R-\rho )}^2+R^2={(R+\rho )}^2$
   $4R^2-4R\rho +{\rho }^2+R^2=R^2+2R\rho +{\rho }^2$
   $4R^2=6R\rho$
   $2R=3\rho$
   $\rho ={\displaystyle \frac{2R}{3}}$.