α) i. Από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι για τη διαγώνιο \(δ\) ενός τετραγώνου πλευράς \(x\) ισχύει:

$$δ^2=x^2+x^2$$ $$\iff δ^2=2x^2$$ $$\iff \sqrt{δ^2}=\sqrt{2x^2}$$

και επειδή \(δ, x > 0\) προκύπτει ότι \(δ=\sqrt{2}\ x\).
ii. Από το ερώτημα (α.i) προκύπτει ότι αν ένα από τα τετράγωνα της ακολουθίας έχει πλευρά \(x\) το επόμενό του έχει πλευρά \(\sqrt{2}x\) και τα αντίστοιχα εμβαδά είναι \(x^2\) και \((\sqrt{2}x)^2=2x^2\). Άρα, ο λόγος \(λ\) των εμβαδών δύο διαδοχικών τετραγώνων δίνεται από τη σχέση

$$λ=\frac{2x^2}{x^2}=2$$

και είναι σταθερός. Οπότε, τα εμβαδά των τετραγώνων είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο \(λ=2\) και πρώτο όρο \(α_1=α^2\).
Ο γενικός όρος της προόδου δίνεται από τη σχέση

$$α_ν=α_1λ^{ν-1}=α^22^{ν-1}.$$

β)

1. Ισχύει ότι

\begin{align}&α_4=8\\ \iff&α^22^{4-1}=8\\ \iff&α^2\cdot 8=8\\ \iff&α^2=1\\ \overset{α>0}{\iff}&α=1.\end{align}

2. Το άθροισμα των \(ν\) πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου δίνεται από τη σχέση:

\begin{align}S_ν&=α_1\frac{λ^ν-1}{λ-1}\\ &=1\cdot\frac{2^ν-1}{2-1}\\ &=2^ν-1.\end{align}

Για να είναι το συνολικό εμβαδών των αρχικών τετραγώνων ίσο με \(255\) τ.μ. πρέπει να ισχύει:

\begin{align}&S_ν=255\\ \iff&2^ν-1=255\\ \iff&2^ν=256\\ \iff&2^ν=2^8\\ \iff&ν=8.\end{align}

Άρα, το πλήθος των τετραγώνων που έχουν συνολικό εμβαδόν \(255\) τ.μ. είναι \(8\).