Λύση

α) Για \(x\ge -1\) είναι \(x+1\ge 0\), οπότε:

$$|x+1|+2=x+1+2$$ $$=x+3$$

Για \(x<-1\) είναι \(x+1<0\), οπότε:

$$|x+1|+2=-(x+1)+2$$ $$=-x-1+2$$ $$=1-x$$

Άρα, τελικά \(Κ=\begin{cases} x+3\ \text{,}\ & \text{αν}\ x\ge -1 \\ 1-x\ \text{,}\ & \text{αν}\ x<-1 \end{cases}\)

β)
i. Είναι:

$$|x-2|=4 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x-2=4 \\ \text{ή} \\ x-2=-4 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x=6 \\ \text{ή} \\ x=-2 \end{cases} $$

ii.
Για \(x=6>-1\) είναι \(Κ=6+3=9\).
Για \(x=-2<-1\) είναι \(Κ=1-(-2)=1+2=3\).