ΛΥΣΗ

α)

$$x -x^{2}\le \dfrac{1}{4} $$ $$\Leftrightarrow x^{2}- x+\dfrac{1}{4}\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}- 2\cdot x\cdot \dfrac{1}{2}+(\dfrac{1}{2})^{2}\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (x-\dfrac{1}{2})^{2}\ge 0,\ \ \text{ισχύει}$$

Το ίσον ισχύει αν και μόνον αν:

$$x -\dfrac{1}{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$$

β)

1. Αρχικά παρατηρούμε ότι το σημείο \(Δ\) έχει τετμημένη μηδέν και τεταγμένη \(f(0)=1,\) ενώ αν είναι \(k\) η τετμημένη του σημείου \(Ε\), η τεταγμένη του θα είναι \(f(k) =0 = 1 - k\), άρα \(k=1\). Ώστε \(Δ(0,1)\) και \(Ε(1,0)\).

   Έστω τώρα ότι \(α\) είναι η τετμημένη του σημείου \(Α\), με \(0\le α\le 1\), οπότε το σημείο \(Α\) έχει τεταγμένη \(f(α)=1 – α\).

   Έτσι έχουμε \(Γ(α, 0)\), \(Α(α, 1 - α)\), \(Β(0, 1- α)\).

   Επομένως το εμβαδόν του ορθογωνίου \(ΑΒΟΓ\) είναι \(Ε = α\cdot (1 - α)=α -α^{2}\).

2. Σύμφωνα με το α) ερώτημα είναι \(Ε\le \dfrac{1}{4}\), δηλαδή για οποιαδήποτε τιμή του \(α\), το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται το πολύ \(\dfrac{1}{4}\). Το ίσον ισχύει αν και μόνον αν \(α=\dfrac{1}{2}\), οπότε σε αυτή την περίπτωση είναι \(Α(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})\), δηλαδή το \(ΑΒΟΓ\) θα γίνει τετράγωνο.