Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6849 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14763 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Σεπ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14763
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Σεπ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=3x28x+λx4+2, για x4 και λ16.

α) Να βρείτε το λ16 ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο
της Μ(0,1).
(Μονάδες 7)

β) Αν λ=16, τότε:

  1. Να αποδείξετε ότι: f(x)={1 , x<45 , x>4.
    (Μονάδες 7)

  2. Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της f.
    (Μονάδες 5)

  3. Για x<4, να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f των οποίων η απόστασή τους από το σημείο Α(1,1) είναι 10 μονάδες μήκους.
    (Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) Αφού το σημείο M(0,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f θα ισχύει f(0)=1 δηλαδή:

3λ4+2=1 3λ4=3 3λ=12 λ=4 λ=16

β) Για λ=16,

  1. Είναι:

f(x)=3x28x+16x4+2 =3(x4)2x4+2 =3|x4|x4+2,  x4

Αν x<4 τότε x4<0 και |x4|=(x4). Άρα:

f(x)=3(x4)x4+2 =3+2=1

Αν x>4 τότε x4>0 και |x4|=x4. Άρα:

f(x)=3(x4)x4+2 =3+2=5

Άρα: f(x)={1 , x<45 , x>4

  1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτελείται από δύο ημιευθείες παράλληλες προς τον άξονα xx, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

  1. Το σημείο A(1,1) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης στην πρώτη ημιευθεία.

Αφού x<4 το ζητούμενο σημείο ανήκει στον κλάδο f(x)=1. Αν ονομάσουμε B το σημείο θα έχει συντεταγμένες (x,1). Τότε:

(ΑΒ)=|x+1|=10 {x+1=10x=9x+1=10x=11

Το x=9>4 απορρίπτεται. Επομένως x=11<4 και το ζητούμενο σημείο είναι B(11,1).

Εναλλακτικά σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα, αφού το ζητούμενο σημείο Β βρίσκεται στην ημιευθεία y=1 θα έχει τεταγμένη yB=1 και θα βρίσκεται δέκα θέσεις δεξιά ή δέκα αριστερά του Α πάνω στην ημιευθεία y=1.

Δηλαδή θα έχει τετμημένη: xB=1+10=9 απορρίπτεται ή xB=110=11.

Άρα το ζητούμενο σημείο είναι B(11,1).