Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
Έναρξη από 2 Σεπτεμβρίου
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 6510 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 14763 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 20-Σεπ-2023 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 14763 | ||
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 20-Σεπ-2023 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\dfrac{3\sqrt{x^{2}-8x+λ}}{x-4}+2\), για \(x\ne 4\) και \(λ\ge 16\).
α) Να βρείτε το \(λ\ge 16\) ώστε η γραφική παράσταση της \(f\) να διέρχεται από το σημείο
της \(Μ(0,-1)\).
(Μονάδες 7)
β) Αν \(λ=16\), τότε:
Να αποδείξετε ότι: \(f(x)=\begin{cases} -1\ \text{,}\ & x<4 \\ 5\ \text{,}\ & x>4 \end{cases}\).
(Μονάδες 7)Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της \(f\).
(Μονάδες 5)Για \(x<4\), να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f\) των οποίων η απόστασή τους από το σημείο \(Α(-1,-1)\) είναι 10 μονάδες μήκους.
(Μονάδες 6)
ΛΥΣΗ
α) Αφού το σημείο \(M(0,-1)\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \(f\) θα ισχύει \(f(0)=-1\) δηλαδή:
$$\dfrac{3\sqrt{λ}}{-4}+2=-1 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{3\sqrt{λ}}{-4}=-3 $$ $$\Leftrightarrow 3\sqrt{λ}=12 $$ $$\Leftrightarrow \sqrt{λ}=4 $$ $$\Leftrightarrow λ=16$$
β) Για \(λ=16\),
- Είναι:
$$f(x)=\dfrac{3\sqrt{x^{2}-8x+16}}{x-4}+2$$ $$=\dfrac{3\sqrt{(x-4)^{2}}}{x-4}+2$$ $$=\dfrac{3|x-4|}{x-4}+2,\ \ x\ne 4$$
Αν \(x<4\) τότε \(x-4<0\) και \(|x-4|=-(x-4)\). Άρα:
$$f(x)=\dfrac{-3(x-4)}{x-4}+2$$ $$=-3+2=-1$$
Αν \(x>4\) τότε \(x-4>0\) και \(|x-4|=x-4\). Άρα:
$$f(x)=\dfrac{3(x-4)}{x-4}+2$$ $$=3+2=5$$
Άρα: \(f(x)=\begin{cases} -1\ \text{,}\ & x<4 \\ 5\ \text{,}\ & x>4 \end{cases}\)
- Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτελείται από δύο ημιευθείες παράλληλες προς τον άξονα \(x'x\), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
- Το σημείο \(A(-1,-1)\) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης στην πρώτη ημιευθεία.
Αφού \(x<4\) το ζητούμενο σημείο ανήκει στον κλάδο \(f(x)=-1\). Αν ονομάσουμε \(B\) το σημείο θα έχει συντεταγμένες (\(x,-1)\). Τότε:
$$(ΑΒ)=|x+1|=10 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x+1=10 \Leftrightarrow x=9 \\ x+1=-10 \Leftrightarrow x=-11 \end{cases}$$
Το \(x=9>4\) απορρίπτεται. Επομένως \(x=-11<4\) και το ζητούμενο σημείο είναι \(B(-11,-1)\).
Εναλλακτικά σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα, αφού το ζητούμενο σημείο \(Β\) βρίσκεται στην ημιευθεία \(y=-1\) θα έχει τεταγμένη \(y_{B}=-1\) και θα βρίσκεται δέκα θέσεις δεξιά ή δέκα αριστερά του \(Α\) πάνω στην ημιευθεία \(y=-1\).
Δηλαδή θα έχει τετμημένη: \(x_{B}=-1+10=9\) απορρίπτεται ή \(x_{B}=-1-10=-11\).
Άρα το ζητούμενο σημείο είναι \(B(-11,-1)\).
