ΘΕΜΑ 1

α) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση Σ (Σωστό), αν η πρόταση είναι αληθής ή Λ (Λάθος), αν η πρόταση είναι ψευδής.

1. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ισχύει η πρόταση:
   Αν $\alpha <\beta$ και $\gamma <\delta$, τότε $\alpha \cdot \gamma <\beta \cdot \delta$.
2. Για κάθε $\theta \in (0,+\mathrm{\infty })$ ισχύει: $|x|<\theta \iff -\theta <x<\theta$.
3. Η εξίσωση $x^3=5$ έχει δύο πραγματικές ρίζες.
4. Αν ισχύουν $\alpha >0$ και $\Delta <0$, όπου $\Delta$ η διακρίνουσα του τριωνύμου $\alpha x^2+\beta x+\gamma$, τότε το τριώνυμο $\alpha x^2+\beta x+\gamma$ είναι αρνητικό για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό $x$.
5. Ο παρακάτω πίνακας θα μπορούσε να είναι πίνακας τιμών μιας συνάρτησης $f$ με πεδίο ορισμού το διάστημα $[0,4]$.

(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι, για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $\alpha$, $\beta$ ισχύει η ανισότητα:

$$|\alpha +\beta |\le |\alpha |+|\beta |$$

(Μονάδες 15)