ΘΕΜΑ 1

α) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση Σ (Σωστό), αν η πρόταση είναι αληθής ή Λ (Λάθος), αν η πρόταση είναι ψευδής.

1. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \(α\), \(β\), \(γ\), \(δ\) ισχύει η πρόταση:
   Αν \(α<β\) και \(γ<δ\), τότε \(α\cdot γ<β\cdot δ\).
2. Για κάθε \(θ\in (0,+\infty)\) ισχύει: \(|x|<θ \Leftrightarrow -θ<x<θ\).
3. Η εξίσωση \(x^{3}=5\) έχει δύο πραγματικές ρίζες.
4. Αν ισχύουν \(α>0\) και \(Δ<0\), όπου \(Δ\) η διακρίνουσα του τριωνύμου \(αx^{2}+βx+γ\), τότε το τριώνυμο \(αx^{2}+βx+γ\) είναι αρνητικό για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό \(x\).
5. Ο παρακάτω πίνακας θα μπορούσε να είναι πίνακας τιμών μιας συνάρτησης \(f\) με πεδίο ορισμού το διάστημα \([0,4]\).

(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι, για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \(α\), \(β\) ισχύει η ανισότητα:

$$|α+β|\le |α|+|β|$$

(Μονάδες 15)