Θέμα: 14880

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 12928 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Γεωμετρία	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	14880	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	05-Φεβ-2022	Ύλη:	3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14880
Ύλη:	3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Τελευταία Ενημέρωση: 05-Φεβ-2022
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται τετράπλευρο $Α Β Γ Δ$ με $Α Β = Α Δ$ και $Γ Β = Γ Δ$ . Αν $Ε$ είναι το σημείο τομής των προεκτάσεων των $Β Α$ και $Γ Δ$ και $Ζ$ το σημείο τομής των προεκτάσεων των $Δ Α$ και $Γ Β$ να αποδείξετε ότι:

α) Η $Γ Α$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{Β Γ Δ}$ .
(Μονάδες 7)

β) $Γ Ζ = Γ Ε$
(Μονάδες 9)

γ) $Ε Ζ ∥ Β Δ$
(Μονάδες 9)

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

α)

Τα τρίγωνα $Α Β Γ$ και $Α Δ Γ$ έχουν:

$A B = A Δ$ , από υπόθεση
$Γ B = Γ Δ$ , από υπόθεση
$Γ Α$ κοινή πλευρά

Από το κριτήριο Π-Π-Π τα τρίγωνα $Α Β Γ$ και $Α Δ Γ$ είναι ίσα, οπότε έχουν $\hat{B Γ Α} = \hat{A Γ Δ}$ (1), διότι βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές $Α Β$ και $Α Δ$ αντίστοιχα. Άρα η $Γ Α$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{Β Γ Δ}$ .

β)

$\hat{Z Α B} = \hat{E Α Δ}$ (2) ως κατακορυφήν γωνίες, $\hat{B Α Γ} = \hat{Δ Α Γ}$ (3), γιατί είναι γωνίες απέναντι από τις ίσες πλευρές $Γ Β$ και $Γ Δ$ αντίστοιχα, των ίσων τριγώνων $Α Β Γ$ και $Α Δ Γ$ του α) ερωτήματος. Από (2) και (3) έχουμε ότι: $\hat{Z Α Γ} = \hat{E Α Γ}$ (4) ως αθροίσματα ίσων γωνιών.
Τα τρίγωνα $Ζ Α Γ$ και $Ε Α Γ$ έχουν:

$\hat{B Γ Α} = \hat{A Γ Δ}$ , από τη σχέση (1)
$Α Γ$ κοινή πλευρά
$\hat{Z Α Γ} = \hat{E Α Γ}$ , από τη σχέση (4)

Άρα από το κριτήριο Γ-Π-Γ τα τρίγωνα $Ζ Α Γ$ και $Ε Α Γ$ είναι ίσα οπότε $Γ Z = Γ E$ γιατί είναι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες $\hat{Z Α Γ}$ , $\hat{E Α Γ}$ αντίστοιχα.

γ)

Έστω $Η$ και $Θ$ τα σημεία στα οποία το τμήμα $Α Γ$ τέμνει τα τμήματα $Ζ Ε$ και $Β Δ$ αντίστοιχα. Στο ισοσκελές τρίγωνο $Γ Β Δ$ ( $Γ Β = Γ Δ$ ), η $Γ Θ$ είναι διχοτόμος, άρα και ύψος. Τότε: $Β Δ ⊥ Γ Θ$ . Στο ισοσκελές τρίγωνο $Γ Ζ Ε$ ( $Γ Ζ = Γ Ε$ ), η $Γ Η$ είναι διχοτόμος, άρα και ύψος. Τότε: $Ε Ζ ⊥ Γ Η$ ή $Ε Ζ ⊥ Γ Θ$ .
Οπότε συμπεραίνουμε ότι $Ε Ζ ∥ Β Δ$ , ως κάθετα στο ίδιο τμήμα $Γ Θ$ .