ΛΥΣΗ

α) Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς \(x\) των οποίων η απόσταση από το \(4\) είναι δύο μονάδες μεγαλύτερη από την απόστασή τους από το \(2\). Δηλαδή:

$$d(x,4)-d(x,2)=2$$

β) Έστω ότι τα σημεία \(Μ\), \(Α\), \(Β\) αναπαριστούν στον άξονα των πραγματικών αριθμών, τους αριθμούς \(x\), \(2\), \(4\) αντίστοιχα, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.

Παρατηρούμε ότι \(d(2,4)=(ΑΒ)=2\).

Για κάθε αριθμό \(x∈(-∞,2]\) είναι \(d(x,4)-d(x,2)=(ΜΒ)-(ΜΑ)=(ΑΒ)=2\).

Για κάθε αριθμό \(x∈(2,4]\) είναι:

$$d(x,4)-d(x,2) < d(x,4)+d(x,2)$$ $$=(ΜΒ)+(ΜΑ)=(ΑΒ)=2$$

και άρα:

$$d(x,4)-d(x,2)≠2$$

Για κάθε αριθμό \(x∈(4,+∞)\) είναι \((ΜΒ)<(ΜΑ)\) οπότε \(d(x,4)<d(x,2)\) δηλαδή \(d(x,4)-d(x,2)<0\) και άρα \(d(x,4)-d(x,2)≠2\).

γ) όπως δείξαμε στο β), αν για τον πραγματικό αριθμό ισχύει \(x\) ότι \(|x-4|-|x-2|=2\), τότε \(x∈(-∞,2]\).

Το τριώνυμο \(x^{2}-6x+8\) έχει ρίζες τους αριθμούς \(2\) και \(4\) και γίνεται μη αρνητικό για \(x∈(-∞,2]∪[4,+∞)\).

Συνεπώς αν για τον πραγματικό αριθμό \(x\) ισχύει ότι \(|x-4|-|x-2|=2\), τότε \(x∈(-∞,2]\) και \(x^{2}-6x+8≥0\).