ΛΥΣΗ

α) Από το σχήμα της εκφώνησης προκύπτει ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. Επίσης, η μέγιστη τιμή της είναι ίση με $1$ και επιτυγχάνεται όταν $x=0$.

β) Από την ανισότητα $\alpha <{\displaystyle \frac{1}{4}}$ και τη μονοτονία της $f$ συμπεραίνουμε ότι $f(\alpha )>f({\displaystyle \frac{1}{4}})\Rightarrow f(\alpha )>{\displaystyle \frac{1}{2}}$, οπότε $2f(\alpha )-1>0$.
Επίσης, $\beta >{\displaystyle \frac{1}{4}}$, οπότε $f(\beta )<f({\displaystyle \frac{1}{4}})\Rightarrow f(\beta )<{\displaystyle \frac{1}{2}}$, απ’ όπου προκύπτει ότι $2f(\beta )-1<0$.
Άρα, ${\rm P}=(2f(\alpha )-1)(2f(\beta )-1)<0$.

γ) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης $C_f$ της $f$ με την ευθεία, δίνονται από τη λύση της εξίσωσης $f(x)=2x$. Με $x\ge 0$ έχουμε:

$$f(x)=2x\iff 1-\sqrt{x}=2x\iff 2x+\sqrt{x}-1=0$$

Αν θέσουμε $\sqrt{x}=u$, τότε η εξίσωση γράφεται $2u^2+u-1=0$ και έχει λύσεις τους αριθμούς $-1$ και ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Έτσι έχουμε:

$\bullet u=-1:\sqrt{x}=-1$ που είναι αδύνατη.
$\bullet u={\displaystyle \frac{1}{2}}:\sqrt{x}={\displaystyle \frac{1}{2}}\iff x={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Άρα το μοναδικό κοινό σημείο της $C_f$ με την ευθεία είναι το $A({\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$.

Εναλλακτική λύση του ερωτήματος γ)
Παρατηρούμε ότι ο αριθμός ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ είναι λύση της εξίσωσης $f(x)=2x$. Επιπλέον:

$\bullet \text{ Aν }x>{\displaystyle \frac{1}{4}},\text{ τότε }2x>{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ και }f(x)<{\displaystyle \frac{1}{2}},\text{ οπότε }f(x)\ne 2x$.

$\bullet \text{ Aν }0\le x<{\displaystyle \frac{1}{4}},\text{ τότε }2x<{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ και }f(x)>{\displaystyle \frac{1}{2}},\text{ οπότε }f(x)\ne 2x$.

Επομένως η εξίσωση $f(x)=2x$ έχει μοναδική λύση την $x={\displaystyle \frac{1}{4}}$ και το μοναδικό κοινό σημείο της $C_f$ με την ευθεία είναι το $A({\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$.