ΛΥΣΗ

α)
i. Παρατηρούμε ότι

\begin{align} P(x) & = 2x^{3}-x^{2}-8x+4 \\ & =x^{2}(2x-1)-4(2x-1) \\ & =(x^{2}-4)(2x-1) \\ & =(x-2)(x+2)(2x-1) \end{align}

Άρα, το πηλίκο της διαίρεσης \(P(x):(x-2)\) είναι \(π(x)=(x+2)(2x-1)=2x^{2}+3x-2\) και το υπόλοιπο είναι \(υ=0\).

ii. Από το αi) ερώτημα έχουμε: \(P(x)=(x-2)(2x^{2}+3x-2)+0\)

β) Έχουμε:

\begin{align} & P(x)=0 \\ \Leftrightarrow & (2x-1)(x^{2}-4)=0 \\ \Leftrightarrow & (2x-1)(x-2)(x+2)=0 \\ \Leftrightarrow & (2x-1=0 \text{ ή } x-2=0 \text{ ή } x+2=0) \\ \Leftrightarrow & x=\dfrac{1}{2} \text{ ή } x=2 \text{ ή } x=-2 \end{align}