ΘΕΜΑ 4
4.1. Το ύψος του τραπεζιού είναι ίσο με την κατακόρυφη μετατόπιση τουσώματος από το σημείο εκτόξευσης μέχρι να φτάσει στο έδαφος. Άρα

$$\begin{align}h&=\dfrac{1}{2}gt_{1}^{2}\\ \Leftrightarrow h &=\dfrac{1}{2}\cdot 10\ \dfrac{m}{s^{2}}\cdot (0,4\ s)^{2}\\ \Leftrightarrow h &=0,8\ m \end{align}$$

Μονάδες 6

4.2. Η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση του σώματος είναι το βεληνεκές της οριζόντιας βολής και εξαρτάται από την αρχική ταχύτητα \(u_{0}\). Ισχύει

$$s_{\text{max}}=u_{0}t_{1}$$ $$\Leftrightarrow u_{0}=\dfrac{s_{\text{max}}}{t_{1}}=\dfrac{4\ m}{0,4\ s}=10\ \dfrac{m}{s}$$

Μονάδες 6

4.3. Η οριζόντια θέση του σώματος στην οριζόντια βολή είναι \(x=u_{0}t\) ενώ η κατακόρυφη είναι \(y=\dfrac{1}{2}gt^{2}\). Αναζητάμε ποια χρονική στιγμή ισχύει

$$x=y$$ $$\Leftrightarrow u_{0}t=\dfrac{1}{2}gt^{2}$$ $$\Leftrightarrow t(2u_{0}-gt)=0$$ $$\Leftrightarrow t=0 \ \ \text{ή}\ \ t=\dfrac{2u_{0}}{g}$$

Η χρονική στιγμή \(t=0\) αντιστοιχεί στο σημείο εκτόξευσης. Η δεύτερη λύση αντιστοιχεί στην χρονική στιγμή

$$t=\dfrac{2u_{0}}{g}$$ $$\Rightarrow t=\dfrac{2\cdot 10}{10}\ s$$ $$\Rightarrow t=2\ s>t_{1}$$

Η λύση αυτή δεν είναι δεκτή γιατί το σώμα έχει φτάσει στο έδαφος σε μικρότερο χρόνο. Επομένως, δεν υπάρχει χρονική στιγμή στην οποία ισχύει \(x=y\).
Μονάδες 6

4.4. Το μέτρο της οριζόντιας ταχύτητας είναι \(u_{x}=u_{0}\) και της κατακόρυφης είναι \(u_{y}=gt\). Έστω ότι την χρονική στιγμή \(t_{2}\) ισχύει

$$u_{x}=5u_{y}$$ $$\Leftrightarrow u_{0}=5gt_{2}$$ $$\Leftrightarrow t_{2}=\dfrac{u_{0}}{5g}$$ $$\Leftrightarrow t=\dfrac{10}{5\cdot 10}\ s$$ $$\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{5}\ s$$

Την χρονική στιγμή \(t_{2}\) η κατακόρυφη μετατόπιση του σώματος είναι

$$y_{2}=\dfrac{1}{2}gt_{2}^{2}$$ $$\Leftrightarrow y_2=\dfrac{1}{2}10(\dfrac{1}{5})^{2}\ m$$ $$\Leftrightarrow y_2 =\dfrac{10}{50}\ m=\dfrac{1}{5}\ m=0,2\ m$$

Στο σημείο αυτό της τροχιάς, το σώμα απέχει από το έδαφος

$$h - y_{2}=0,8\ m-0,2\ m=0,6\ m$$

Μονάδες 7