ΘΕΜΑ 4
4.1. Το ύψος του τραπεζιού είναι ίσο με την κατακόρυφη μετατόπιση τουσώματος από το σημείο εκτόξευσης μέχρι να φτάσει στο έδαφος. Άρα

$$\begin{array}{rl}h& ={\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}_1^2\\ \iff h& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\cdot (0,4s{)}^2\\ \iff h& =0,8m\end{array}$$

Μονάδες 6

4.2. Η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση του σώματος είναι το βεληνεκές της οριζόντιας βολής και εξαρτάται από την αρχική ταχύτητα $u_0$. Ισχύει

$$s_{\text{max}}=u_0{t}_1$$ $$\iff u_0={\displaystyle \frac{s_{\text{max}}}{t_1}}={\displaystyle \frac{4m}{0,4s}}=10{\displaystyle \frac{m}{s}}$$

Μονάδες 6

4.3. Η οριζόντια θέση του σώματος στην οριζόντια βολή είναι $x=u_{0}t$ ενώ η κατακόρυφη είναι $y={\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$. Αναζητάμε ποια χρονική στιγμή ισχύει

$$x=y$$ $$\iff u_{0}t={\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$$ $$\iff t(2u_0-gt)=0$$ $$\iff t=0\text{ή}t={\displaystyle \frac{2u_0}{g}}$$

Η χρονική στιγμή $t=0$ αντιστοιχεί στο σημείο εκτόξευσης. Η δεύτερη λύση αντιστοιχεί στην χρονική στιγμή

$$t={\displaystyle \frac{2u_0}{g}}$$ $$\Rightarrow t={\displaystyle \frac{2\cdot 10}{10}}s$$ $$\Rightarrow t=2s>t_1$$

Η λύση αυτή δεν είναι δεκτή γιατί το σώμα έχει φτάσει στο έδαφος σε μικρότερο χρόνο. Επομένως, δεν υπάρχει χρονική στιγμή στην οποία ισχύει $x=y$.
Μονάδες 6

4.4. Το μέτρο της οριζόντιας ταχύτητας είναι $u_x=u_0$ και της κατακόρυφης είναι $u_y=gt$. Έστω ότι την χρονική στιγμή $t_2$ ισχύει

$$u_x=5u_y$$ $$\iff u_0=5g{t}_2$$ $$\iff t_2={\displaystyle \frac{u_0}{5g}}$$ $$\iff t={\displaystyle \frac{10}{5\cdot 10}}s$$ $$\iff t={\displaystyle \frac{1}{5}}s$$

Την χρονική στιγμή $t_2$ η κατακόρυφη μετατόπιση του σώματος είναι

$$y_2={\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}_2^2$$ $$\iff y_2={\displaystyle \frac{1}{2}}10({\displaystyle \frac{1}{5}}{)}^{2}m$$ $$\iff y_2={\displaystyle \frac{10}{50}}m={\displaystyle \frac{1}{5}}m=0,2m$$

Στο σημείο αυτό της τροχιάς, το σώμα απέχει από το έδαφος

$$h-y_2=0,8m-0,2m=0,6m$$

Μονάδες 7