ΛΥΣΗ

α) Η υπερβολή \(C\) έχει κέντρο το \((0,0)\) και εστίες στον άξονα \(xx'\), οπότε θα έχει ασύμπτωτες της μορφής \(y=\dfrac{β}{α}x , y=-\dfrac{β}{α}x\). Αφού το ορθογώνιο βάσης είναι τετράγωνο, συμπεραίνουμε ότι \(α=β\) δηλαδή είναι ισοσκελής υπερβολή. Συνεπώς:

1. οι εξισώσεις των ασυμπτώτων της υπερβολής \(C\) είναι \(y=x,y=-x\).
2. για την εκκεντρότητα \(ε\) της \(C\) ισχύει ότι \(ε^{2}=1+(\dfrac{β}{α})^{2}=1+1=2\) και επειδή \(ε>0\) έχουμε τελικά ότι \(ε=\sqrt{2}\).

β) Αφού η \((ζ)\) είναι παράλληλη σε κάποια εκ των ασύμπτωτων της \(C\), θα έχει εξίσωση της μορφής \(y=x+κ\) ή \(y=-x+κ\) με \(κ≠0\). Η ισοσκελής υπερβολή \(C\) θα έχει εξίσωση της μορφής \(x^{2}-y^{2}=α^{2}\). Αφού διέρχεται από το σημείο \((2,0)\) έχουμε ότι:

$$2^{2}-0^{2}=α^{2}$$ $$\Leftrightarrow 4=α^{2}$$ $$\overset{α>0}{\Leftrightarrow }α=2$$

Το πλήθος των κοινών σημείων της \(C\) και της ευθείας \((ζ)\) είναι ίδιο με το πλήθος των λύσεων καθενός από τα συστήματα \(\begin{cases}x^{2} - y^{2} =4 \\ y=x+κ\end{cases}\) και \(\begin{cases}x^{2} - y^{2} =4 \\ y= - x+κ\end{cases}\).

Λύνουμε το 1ο σύστημα με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η και έχουμε:

$$x^{2}-(x+κ)^{2}=4$$ $$\Leftrightarrow x^{2}-x^{2}-2xκ-κ^{2}=4$$ $$\Leftrightarrow -2xκ=4+κ^{2}$$ $$\overset{κ≠0}{\Leftrightarrow }x=-\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}$$

και από τη 2η εξίσωση έχουμε ότι:

$$y=-\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}+κ$$

Ομοίως λύνουμε το 2ο σύστημα με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η και έχουμε:

$$x^{2}-(-x+κ)^{2}=4$$ $$\Leftrightarrow x^{2}-x^{2}+2xκ-κ^{2}=4$$ $$\Leftrightarrow 2xκ=4+κ^{2}$$ $$\overset{κ≠0}{\Leftrightarrow }x=\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}$$

και από τη 2η εξίσωση έχουμε ότι:

$$y=-\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}+κ$$

1. Σε κάθε περίπτωση το σύστημα έχει μοναδική λύση που σημαίνει ότι η \((ζ)\) έχει ένα μόνο κοινό σημείο με την \(C\).

2. Επειδή σε κάθε περίπτωση η μοναδική λύση του συστήματος προέκυψε από εξίσωση 1ου βαθμού και όχι από 2ου με διακρίνουσα \(0\), η ευθεία \((ζ)\) δεν είναι εφαπτόμενη της \(C\). Απλά την τέμνει σε ένα σημείο χωρίς όμως το σημείο αυτό να είναι σημείο επαφής. Δηλαδή η \((ζ)\) διαπερνά τη \(C\).

Σημείωση: το παραπάνω συμπέρασμα ισχύει για κάθε υπερβολή και ευθεία παράλληλη σε κάποια από τις ασύμπτωτες και όχι μόνο για τις ισοσκελείς.