ΛΥΣΗ

α) Η εταιρεία \(Ε1\) κοστολογεί με \(200\) ευρώ κάθε μέτρο βάθους μέχρι τα \(15\) πρώτα. Για \(x\) μέτρα βάθους το κόστος θα είναι \(200x\) αυξημένο κατά \(1500\) ευρώ που είναι το κόστος της εκπόνησης της μελέτης, όταν \(0≤ x ≤ 15\). Αν όμως χρειαστεί να ξεπεράσει τα \(15\) μέτρα βάθους τότε θα χρειαστεί να πληρώσει \((x-15)250\) για κάθε επιπλέον μέτρο μετά τα \(15\) πρώτα και \(15 \cdot 200+1500=4500\) ευρώ που είναι η χρέωση των \(15\) πρώτων μέτρων βάθους. Έτσι σε αυτή την περίπτωση το κόστος θα είναι \((x-15)250+4500\) ευρώ για γεώτρηση \(x\) μέτρων βάθους με \(x>15\). Οπότε:

1. \(f(x) = \begin{cases} 1500+ 200x\text{,}\ \ \text{όταν}\ \ 0 ≤ x≤15 \\ (x-15)250+4500\text{,}\ \ \text{όταν}\ \ x>15 \end{cases}\)

2. Για \(12\) μέτρα βάθους γεώτρηση το ποσό που θα δαπανήσει είναι \(f(12) = 1500+200 \cdot 12 = 3900\) ευρώ.

3. Μέχρι τα \(15\) μέτρα βάθους το ποσό που χρεώνει η εταιρεία είναι \(4500\) ευρώ. Οπότε \(x>15\). Έτσι έχουμε \(f(x)= 5050\) ή \((x-15)250+4500=5050\) ή \(x= 17,2\).

β) \(g(x) = 300x\) με \(x>0\).

γ) Δίνεται ότι για ίδια μέτρα βάθους πλήρωσαν το ίδιο ποσό. Αναζητούμε τιμή του \(x\) ώστε να ισχύει \(f(x) = g(x)\) ή \(1500+200x = 300x \Leftrightarrow x=15\) δεκτή (όταν \(0<x≤15\)) ή \((x-15)250+4500 = 300x \Leftrightarrow x=15\) απορρίπτεται (όταν \(x>15\)).

Άρα για γεώτρηση βάθους \(15\) μέτρων οι δύο εταιρείες χρεώνουν ακριβώς το ίδιο ποσό και δεν υπάρχει άλλη τιμή του \(x\) (μέτρα βάθους) για την οποία η χρέωση των δυο εταιρειών, για το ίδιο βάθος, να είναι ίδια.

δ) Για να συμφέρει η επιλογή της εταιρείας \(Ε1\) για γεώτρηση \(x\) μέτρων βάθους, θα πρέπει το κόστος \(f(x)\) να είναι μικρότερο από το αντίστοιχο κόστος \(g(x)\) της εταιρείας \(Ε2\). Δηλαδή να ισχύει \(f(x) < g(x)\), οπότε:

• Για \(0<x ≤15\), \(1500+200x <300x \Leftrightarrow x>15\) απορρίπτεται.
• Για \(x>15\), \((x-15)250+4500 < 300x \Leftrightarrow x>15\), δηλαδή συμφέρει η επιλογή της εταιρείας \(Ε1\) όταν η γεώτρηση έχει περισσότερο από \(15\) μέτρα βάθους.