ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ 4ου
α) Η οικονομία απασχολεί πλήρως τους $6$ εργαζόμενους στην παραγωγή των αγαθών ${\rm X}$ και $\Psi$. Κάθε εργαζόμενος μπορεί να παράγει είτε $5$ μονάδες του αγαθού ${\rm X}$ είτε $10$ μονάδες του αγαθού $\Psi$.

Κατασκευάζουμε τον πίνακα παραγωγικών δυνατοτήτων της οικονομίας παρουσιάζοντας όλους τους πιθανούς μέγιστους συνδυασμούς παραγωγής που μπορούν να υπάρξουν στη συγκεκριμένη οικονομία με τους $6$ εργαζόμενους.

Η Καμπύλη Παραγωγικών Δυνατοτήτων (Κ.Π.Δ.) της οικονομίας είναι:

(Μονάδες 10)

β) Υπολογίζουμε τα κόστη ευκαιρίας του αγαθού ${\rm X}$ σε όρους του αγαθού $\Psi$ σε κάθε διαδοχικό συνδυασμό.

Για το συνδυασμό ${\rm A}-{\rm B}$ έχουμε:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }={\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}=$$ $$={\displaystyle \frac{60-50}{5-0}}={\displaystyle \frac{10}{5}}=2\text{μονάδες αγαθού }\Psi$$

Για το συνδυασμό ${\rm B}-\Gamma$ έχουμε:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }={\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}=$$ $$={\displaystyle \frac{50-40}{10-5}}={\displaystyle \frac{10}{5}}=2\text{μονάδες αγαθού }\Psi$$

Για το συνδυασμό $\Gamma -\Delta$ έχουμε:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }={\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}=$$ $$={\displaystyle \frac{40-30}{15-10}}={\displaystyle \frac{10}{5}}=2\text{μονάδες αγαθού }\Psi$$

Για το συνδυασμό $\Delta -{\rm E}$ έχουμε:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }={\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}=$$ $$={\displaystyle \frac{30-20}{20-15}}={\displaystyle \frac{10}{5}}=2\text{μονάδες αγαθού }\Psi$$

Για το συνδυασμό ${\rm E}-{\rm Z}$ έχουμε:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }={\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}=$$ $$={\displaystyle \frac{20-10}{25-20}}={\displaystyle \frac{10}{5}}=2\text{μονάδες αγαθού }\Psi$$

Για το συνδυασμό ${\rm Z}-{\rm H}$ έχουμε:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }={\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}=$$ $$={\displaystyle \frac{10-0}{30-25}}={\displaystyle \frac{10}{5}}=2\text{μονάδες αγαθού }\Psi$$

Το κόστος ευκαιρίας του αγαθού ${\rm X}$ είναι σταθερό σε κάθε συνδυασμό. Αυτό σημαίνει ότι οι παραγωγικοί συντελεστές είναι εξίσου κατάλληλοι για την παραγωγή και των δύο αγαθών.

Ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων με τα κόστη ευκαιρίας είναι ο παρακάτω:

(Μονάδες 5)

γ) Οι τελευταίες $15$ μονάδες του αγαθού $\Psi$ παράγονται από τις $45$ έως τις $60$ μονάδες.
Η παραγωγή των $45$ μονάδων του αγαθού $\Psi$ βρίσκεται ανάμεσα στους συνδυασμούς ${\rm B}$ και $\Gamma$, όπου το κόστος ευκαιρίας του αγαθού ${\rm X}$ είναι σταθερό και ίσο με $2$ για όλους τους συνδυασμούς που βρίσκονται μεταξύ των συνδυασμών ${\rm B}$ και $\Gamma$. Κατασκευάζουμε ένα νέο πίνακα, παρεμβάλλοντας τον συνδυασμό ${{\rm B}}^{\prime }$ με την ποσότητα $45$ μονάδων του αγαθού $\Psi$ και αναζητούμε τη μέγιστη ποσότητα του αγαθού ${\rm X}$:

Στη συνέχεια με τη βοήθεια του κόστους ευκαιρίας βρίσκουμε το ${{\rm X}}_{{{\rm B}}^{\prime }}$ στον συνδυασμό ${{\rm B}}^{\prime }-\Gamma$:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }=2$$ $$\iff {\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}=2$$ $$\iff {\displaystyle \frac{45-40}{10-{{\rm X}}_{{{\rm B}}^{\prime }}}}=2$$ $$\iff {\displaystyle \frac{5}{10-{{\rm X}}_{{{\rm B}}^{\prime }}}}=2$$ $$\iff {\displaystyle \frac{5}{2}}=10-{{\rm X}}_{{{\rm B}}^{\prime }}$$ $$\iff 2,5=10-{{\rm X}}_{{{\rm B}}^{\prime }}$$ $$\Rightarrow {{\rm X}}_{\text{Β'}}=7,5\text{μονάδες προϊόντος}$$

Δηλαδή, με δεδομένη την παραγωγή $45$ μονάδων του αγαθού $\Psi$, η μέγιστη ποσότητα του αγαθού ${\rm X}$ που μπορεί να παράγει η οικονομία είναι $7,5$ μονάδες.

Άρα, για να παραχθούν οι τελευταίες $15$ μονάδες του αγαθού $\Psi$, πρέπει να θυσιαστούν $7,5-0=7,5$ μονάδες του αγαθού ${\rm X}$.
(Μονάδες 5)

δ) Όταν η οικονομία παράγει $5$ μονάδες του αγαθού ${\rm X}$, η μέγιστη ποσότητα του αγαθού $\Psi$ είναι $50$ μονάδες.

Η οικονομία θέλει να αυξήσει την παραγωγή του αγαθού ${\rm X}$ κατά $8$ μονάδες. Άρα η νέα ποσότητα του αγαθού ${\rm X}$ θα είναι $5+8=13$ μονάδες.

Η παραγωγή των $13$ μονάδων του αγαθού ${\rm X}$ βρίσκεται ανάμεσα στους συνδυασμούς $\Gamma$ και $\Delta$, όπου το κόστος ευκαιρίας του αγαθού ${\rm X}$ είναι σταθερό και ίσο με $2$ για όλους τους συνδυασμούς που βρίσκονται μεταξύ των συνδυασμών $\Gamma$ και $\Delta$. Κατασκευάζουμε ένα νέο πίνακα, παρεμβάλλοντας τον συνδυασμό ${\Gamma }^{\prime }$ με την ποσότητα $13$ μονάδων του αγαθού ${\rm X}$ και αναζητούμε τη μέγιστη ποσότητα του αγαθού $\Psi$:

Στη συνέχεια με τη βοήθεια του κόστους ευκαιρίας βρίσκουμε το ${\Psi }_{{\Gamma }^{\prime }}$ στον συνδυασμό ${\Gamma }^{\prime }-\Delta$:

$${\rm K}{{\rm E}}_{{\rm X}\to \Psi }=2$$ $$\iff {\displaystyle \frac{{\Delta }_{\Psi }}{{\Delta }_{{\rm X}}}}=2$$ $$\iff {\displaystyle \frac{{\Psi }_{{\Gamma }^{\prime }}-30}{15-13}}=2$$ $$\iff {\displaystyle \frac{{\Psi }_{{\Gamma }^{\prime }}-30}{2}}=2$$ $$\iff {\Psi }_{{\Gamma }^{\prime }}-30=4$$ $$\Rightarrow {\Psi }_{{\Gamma }^{\prime }}=34\text{μονάδες προϊόντος}$$

Δηλαδή, με δεδομένη την παραγωγή $13$ μονάδων του αγαθού ${\rm X}$, η μέγιστη ποσότητα του αγαθού $\Psi$ που μπορεί να παράγει η οικονομία είναι $34$ μονάδες.

Άρα, αν η παραγωγή του αγαθού ${\rm X}$ αυξηθεί από $5$ μονάδες σε $13$ μονάδες, πρέπει να θυσιαστούν $50-34=16$ μονάδες του αγαθού $\Psi$.
(Μονάδες 5)