ΘΕΜΑ 4
4.1. Για να εμποδίσουμε τα φωτοηλεκτρόνια που εξέρχονται από το μέταλλο με κινητική ενέργεια ${{\rm K}}_1$ να φτάσουν στο απέναντι ηλεκτρόδιο πρέπει να εφαρμόσουμε τάση αποκοπής $V_1$ τέτοια ώστε:

$${{\rm K}}_1=e\cdot V_1$$ $$\Rightarrow {{\rm K}}_1=0,75eV$$

Σύμφωνα με τη φωτοηλεκτρική εξίσωση του Einstein:

$${{\rm K}}_1=h\cdot f_1-\phi$$ $$\Rightarrow \phi =h\cdot f_1-{{\rm K}}_1$$ $$\Rightarrow \phi =h\cdot {\displaystyle \frac{c}{{\lambda }_1}}-{{\rm K}}_1$$

όπου $\phi$ το έργο εξαγωγής του μετάλλου, επομένως:

$$\phi =({\displaystyle \frac{6,63\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{331,5\cdot {10}^{-9}\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}}}-0,75)eV$$ $$\Rightarrow \phi =(3,75-0,75)eV$$ $$\Rightarrow \phi =3eV$$

Μονάδες 6

4.2. Η συχνότητα κατωφλίου $f_0$ είναι ίση με:

$$f_0={\displaystyle \frac{\phi }{h}}$$ $$\Rightarrow f_0={\displaystyle \frac{3\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}}{6,63\cdot {10}^{-34}}}Hz$$ $$\Rightarrow f_0=72,4\cdot {10}^{13}Hz$$

Η συχνότητα $f_2$ του φωτός μήκους κύματος ${\lambda }_2$ θα είναι:

$$c={\lambda }_2{f}_2$$ $$\Rightarrow f_2={\displaystyle \frac{c}{{\lambda }_2}}$$ $$\Rightarrow f_2={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{6\cdot {10}^{-7}}}Hz$$ $$\Rightarrow f_2=50\cdot {10}^{13}Hz$$

Παρατηρούμε ότι $f_2<f_0$ άρα δεν θα εξέλθουν φωτοηλεκτρόνια από το μέταλλο.

Μονάδες 6

4. 3. Οι ακτίνες ${\rm X}$ έχουν μήκος κύματος:

$$\lambda ={\displaystyle \frac{{\lambda }_2}{3\cdot {10}^3}}$$ $$\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{6\cdot {10}^{-7}}{3\cdot {10}^3}}m$$ $$\Rightarrow \lambda =20\cdot {10}^{-11}m$$

Αν ${\lambda }^{\prime }$ είναι το μήκος κύματος των σκεδαζόμενων φωτονίων, τότε:

$${\lambda }^{\prime }-\lambda ={\displaystyle \frac{h}{m_e\cdot c}}(1-\sigma \upsilon \nu \phi )$$ $$\Rightarrow {\lambda }^{\prime }=\lambda +{\displaystyle \frac{h}{m_e\cdot c}}(1-\sigma \upsilon \nu \phi )$$

Επειδή η γωνία σκέδασης $\phi ={60}^0$, έχουμε $\sigma \upsilon \nu \phi =1/2$, επομένως:

$${\lambda }^{\prime }=(20\cdot {10}^{-11}+{\displaystyle \frac{6,63\cdot {10}^{-34}}{9\cdot {10}^{-31}\cdot 3\cdot {10}^8}}(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}))m$$ $$\Rightarrow {\lambda }^{\prime }=20,12\cdot {10}^{-11}m$$

Μονάδες 6

4. 4. Κατά τη σκέδαση ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας. Αν ${{\rm E}}_{\phi }$ είναι η ενέργεια του προσπίπτοντος φωτονίου, ${{\rm E}}_{\phi }^{\prime }$ είναι η ενέργεια του σκεδαζόμενου φωτονίου και ${{\rm K}}_e$ είναι η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου μετά τη σκέδαση, τότε:

$${{\rm E}}_{\phi }={{\rm E}}_{\phi }^{\prime }+K_e$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}={\displaystyle \frac{hc}{{\lambda }^{\prime }}}+K_e$$ $$\Rightarrow K_e={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}-{\displaystyle \frac{hc}{{\lambda }^{\prime }}}$$ $$\Rightarrow K_e=hc({\displaystyle \frac{1}{\lambda }}-{\displaystyle \frac{1}{{\lambda }^{\prime }}})$$

Επομένως:

$$K_e=6,63\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8({\displaystyle \frac{1}{20\cdot {10}^{-11}}}-{\displaystyle \frac{1}{20,12\cdot {10}^{-11}}})J$$ $$\Rightarrow K_e=59,3\cdot {10}^{-19}J$$

Αν $p_e$ είναι το μέτρο της ορμής του ηλεκτρονίου μετά τη σκέδαση, τότε:

$$K_e={\displaystyle \frac{p_e^2}{2m_e}}$$ $$\Rightarrow p_e=\sqrt{2K_e{m}_e}$$ $$\Rightarrow p_e=\sqrt{2\cdot 59,3\cdot {10}^{-19}\cdot 9\cdot {10}^{-31}}{\displaystyle \frac{Kgm}{s}}$$ $$\Rightarrow p_e=32,7\cdot {10}^{-25}{\displaystyle \frac{Kgm}{s}}$$

Όμως:

$${\lambda }_e={\displaystyle \frac{h}{p_e}}$$ $$\Rightarrow {\lambda }_e={\displaystyle \frac{6,63\cdot {10}^{-34}}{32,7\cdot {10}^{-25}}}m$$ $$\Rightarrow {\lambda }_e=2\cdot {10}^{-10}m$$

Μονάδες 7